Binomischer Satz < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:58 So 25.11.2007 | | Autor: | sitcom1 |
| Aufgabe | Man beweise das sogenannte "Binomial-Theorem" für einen kommutativen Ring R.
[mm] (a+b)^{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} a^{k}b^{n-k}
[/mm]
für a,b [mm] \in [/mm] R und k,m [mm] \in \IN. [/mm] Für den Fall n=0 sei zusätzlich angenommen, dass R ein 1-Element besitze. Dabei sei der Ring R in kanonischer Weise auch als [mm] \IZ [/mm] -Modul aufgefasst.
Hinweise:
i) Man beweise zunächst folgende Formel
[mm] \vektor{n + 1 \\ m + 1} [/mm] = [mm] \vektor{n \\ m} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ m+1}
[/mm]
für alle m, n [mm] \in \IN.
[/mm]
ii) Es empfiehlt sich, die obige Formel und ihren Beweis zunächst in einer expliziten Gestalt aufzuschreiben.
iii) Man definiere für eine Folge
[mm] (c_{n})_{n \in(\IN \setminus {0})}
[/mm]
in einer Halbgruppe S die "Partialsummen"
[mm] \summe_{n=1}^{k}c_{n}
[/mm]
mit k,n [mm] \in \IN \setminus [/mm] {0}
iv) Man definiere m! rekursiv. |
i) und iv) habe ich gemacht. Mir ist unklar wie die Folge unter iii) auszusehen hat und wie dadurch ein Beweis zustande kommen soll. Ich bin sehr dankbar für Eure Hilfe!
Aufgabe gehört zu Lineare Algebra I.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:01 Di 27.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
