Binomischer Satz < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:49 Sa 31.01.2015 | | Autor: | sandroid |
| Aufgabe | Beweise den binomischen Satz induktiv mithilfe des Satzes:
[mm] \binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1} [/mm] |
Mir fehlt der Ansatz dazu leider noch ganz.
Der binomische Sartz und dessen Herleitung sind mir bekannt.
Jaja: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:27 Sa 31.01.2015 | | Autor: | abakus |
Fang doch einfach mal an.
Induktionsanfang?
[mm] $(a+b)^1$ [/mm] ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 Sa 31.01.2015 | | Autor: | sandroid |
Induktionsanfang für n = 1:
(a + b) = [mm] \summe_{k=0}^{1} \binom{1}{0}a^{1-k}b^{k}=a+b
[/mm]
Induktion: n [mm] \to [/mm] n + 1
(a + [mm] b)^{n+1} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k}a^{n+1-k}b^{k}
[/mm]
[mm] =b^{n+1} [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^{n} \binom{n+1}{k}a^{n+1-k}b^{k}
[/mm]
Ich komme da einfach nicht weiter.
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Hallo sandroid,
> Induktionsanfang für n = 1:
>
> (a + b) = [mm]\summe_{k=0}^{1} \binom{1}{0}a^{1-k}b^{k}=a+b[/mm]
>
> Induktion: n [mm]\to[/mm] n + 1
>
> (a + [mm]b)^{n+1}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k}a^{n+1-k}b^{k}[/mm]
>
> [mm]=b^{n+1}[/mm] + [mm]\summe_{k=0}^{n} \binom{n+1}{k}a^{n+1-k}b^{k}[/mm]
>
> Ich komme da einfach nicht weiter.
Fang doch so an:
[mm]\left(a+b\right)^{n+1}=\left(a+b\right)*\left(a+b\right)^{n}=\left(a+b\right)*\summe_{k=0}^{n} \binom{n}{k}a^{n-k}b^{k}[/mm]
Muiltipliziere dies aus, dann hast Du zwei Summen.
Dann ist das nach Ausdrücken der Form [mm]a^{r}*b^{s}[/mm] zu sortieren,
damit Du die in der Aufgabe gegebene Formel verwenden kannst.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:01 So 01.02.2015 | | Autor: | sandroid |
Vielen Dank für den sehr nützlichen Hinweis.
Um ganz ehrlich zu sein: Ich wäre jedoch so noch lange nicht drauf gekommen, dazu bin ich noch zu wenig mit Summen vertraut.
Den Beweis habe ich aber dann auch im ![[]](/images/popup.gif) Beweisarchiv gefunden, für alle nachfolgend interessierten hieran.
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