Binomischer Lehrsatz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:00 Mo 08.03.2010 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Reihenwert der folgenden Reihe:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}[\summe_{k=0}^{n}(\vektor{n\\k})(\bruch{1}{2}^{n+k})] [/mm] |
Hallo,
diese Aufgabe wurde mit dem Binomischen Lehrsatz und der geometrischen Reihe gelöst. Ich habe zwar die Lösung vor mir liegen, aber an einer stelle kann ich nicht mehr mitfolgen.
[mm] \summe_{k=0}^{n}(\vektor{n\\k})(\bruch{1}{2}^{n+k})=(\bruch{1}{2}^{n})\summe_{k=0}^{n}(\vektor{n\\k})(\bruch{1}{2}^{k})*1^{n-k}
[/mm]
woher kommt die
1^(n-k) ist das, dass [mm] x^n-k [/mm] aus der Formel? wenn ja darf ich mir da einfach eine 1^(n-k) hinschreiben?
jetzt kommt [mm] =(\bruch{1}{2}^n)*(1+\bruch{1}{2})^n
[/mm]
ich versteh hier nicht, warum da jz aufeinmal + steht und was mit dem k passiert.
Es würde mich freuen, wenn mir das jemand erklären kann.
Ich bedanke mich im voraus
Lg Melisa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:06 Mo 08.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie den Reihenwert der folgenden Reihe:
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> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}[\summe_{k=0}^{n}(\vektor{n\\k})(\bruch{1}{2}^{n+k})][/mm]
> Hallo,
>
> diese Aufgabe wurde mit dem Binomischen Lehrsatz und der
> geometrischen Reihe gelöst. Ich habe zwar die Lösung vor
> mir liegen, aber an einer stelle kann ich nicht mehr
> mitfolgen.
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n}(\vektor{n\\k})(\bruch{1}{2}^{n+k})=(\bruch{1}{2}^{n})\summe_{k=0}^{n}(\vektor{n\\k})(\bruch{1}{2}^{k})*1^{n-k}[/mm]
>
> woher kommt die
> 1^(n-k) ist das, dass [mm]x^n-k[/mm]
[mm]x^{n-k}[/mm]
> aus der Formel? wenn ja darf
> ich mir da einfach eine 1^(n-k) hinschreiben?
Ja, denn [mm] 1^{n-k}=1
[/mm]
>
> jetzt kommt [mm]=(\bruch{1}{2}^n)*(1+\bruch{1}{2})^n[/mm]
>
> ich versteh hier nicht, warum da jz aufeinmal + steht und
> was mit dem k passiert.
Nach dem binomischen Satz ist [mm] \summe_{k=0}^{n}(\vektor{n\\k})(\bruch{1}{2}^{k})*1^{n-k}= (1+1/2)^n
[/mm]
und damit:
[mm]\summe_{k=0}^{n}(\vektor{n\\k})(\bruch{1}{2}^{n+k})=(\bruch{1}{2}^{n})\summe_{k=0}^{n}(\vektor{n\\k})(\bruch{1}{2}^{k})*1^{n-k}=(\bruch{1}{2}^n)*(1+\bruch{1}{2})^n[/mm]
FRED
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> Es würde mich freuen, wenn mir das jemand erklären kann.
>
> Ich bedanke mich im voraus
>
> Lg Melisa
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Hallo Melisa!
> jetzt kommt [mm]=(\bruch{1}{2}^n)*(1+\bruch{1}{2})^n[/mm]
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> ich versteh hier nicht, warum da jz aufeinmal + steht und
> was mit dem k passiert.
Hierfür solltest Du Dir den binomischen Lehrsatz allgemein aufschreiben:
[mm] $$\summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}*a^{n-k}*b^k [/mm] \ = \ [mm] (a+b)^n$$
[/mm]
In Deinem Falle gilt dann $a \ = \ 1$ sowie $b \ = \ [mm] \bruch{1}{2}$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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