Binomischen Lehrsatz beweisen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:54 Do 30.12.2004 | | Autor: | Fuechsin |
hallo an alle!
also meine aufgabe ist es, den binomischen lehrsatz mit vollständiger induktion zu beweisen. tja, das scheint mir aber gar nich so einfach und mit meinem kenntnisstand glaub ich komm ich da gar nich weiter (ich weiß jedenfalls nich, wie ich an der einen stelle irgednwie weiterkommen soll)
wäre jedenfalls nett, wenn mir da irgednwer behilflich ist
und zwar bin ich folgendermaßen vorgegangen:
Annahme:
Die formel [mm] (a+b)^{n}= \summe_{i=o}^n \vektor{n\\i} \*a^{n-i}\*b^{i} [/mm] gilt für n [mm] \in \IN
[/mm]
mit a, b [mm] \not= [/mm] 0
Voraussetzung:
n=1
[mm] (a+b)^{1}= \summe_{i=0}^{1}\vektor{1\\0} \*a^{1-0}\*b^{0}
[/mm]
[mm] a^{1}+b^{1}= 1\*a^{1}\*b^{0}+ 1\*a^{0}\*b^{1} [/mm]
Schluss:
zu zeigen: [mm] (a+b)^{n+1} [/mm] = [mm] \summe_{i=o}^n+1 \vektor{n+1\\i} \*a^{n+1-i}\*b^{i} [/mm]
[mm] (a+b)^{n+1}= [/mm] (a+b) [mm] \* (a+b)^{n}
[/mm]
(jetzt die annahme einsetzen für den zweiten teil)
= (a+b) [mm] \* \summe_{i=o}^n \vektor{n\\i} \*a^{n-i}\*b^{i}
[/mm]
(das schreibe ich jetzt aus)
=(a+b) [mm] \* (\vektor{n\\0}\*a^{n}+\vektor{n\\1}\*a^{n-1}\+b^{1}+...+\vektor{n\\n}\*b^{n})
[/mm]
so toll ja, da kann ich ganz viel zusammenfassen über mehrere schritte und dann komme ich bis hierhin:
[mm] =\vektor{n\\0}\*(a^{n+1}+a^{n}\*b)+\vektor{n\\1}\*(a^{n}\*b+a^{n-1}\*b^{2})+\vektor{n\\2}\*(a^{n-1}\*b^{2}+a^{n-2}\*b^{3})+...\vektor{n\\n}\*(a^{n-n}\*b^{n}+a^{n-n}\*b^{n+1})
[/mm]
oder( ich weiß zwar nicht ob das was bringt) man schreibt es anders:
[mm] =\vektor{n\\0}\*a^{n}\*(a+b)+\vektor{n\\1}\*a^{n}\*b^{1}\*(1+a^{-1}\*b)+\vektor{n\\2}\*a^{n-1}\*b^{2}\*(1+a^{-1}\*b)+...vektor{n\\n}\*b^{n}\*(a+b)
[/mm]
so, das sieht ja alles sehr schön aus, aber ich hab keine ahnung, wie ich bitte schön etwas in den binomialkoeffizienten "reinkriege", also wie ich etwa sin die klammer bekomme...?man kann sich schon denken, dass jeweils immer der nächste dabei ist und das es hoffentlich auch aufgeht, aber wie bekomme ich etwas von einer hochzahle innerhalb des n über 0?
das weiß ich überhaupt nicht. ich hoffe, man versteht, wie ich vorgegangen bin, nur alle schritte aufzuschreiben
hm, ja, wenn hier jemand durchblickt, wäre es sehr lieb, wenn mir jemand hilft und mir einen tipp gibt! oder mir zeigen kann, was ich falsch gemacht habe, bzw wie man es einfacher machen könnte...
Danke shconmal im voraus!!
Viele Grüße!!
PS: ich hoffe, dass ich beim eingeben mich nciht vertippt habe, muss erstmal klar kommen mit dem programm von den ganzen zeichen und so... wenn mand a sich gewohnt is, dann kann das schon passieren, hoffe aber nicht!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:07 Do 30.12.2004 | | Autor: | andreas |
hi
ich habe leider gerade nicht die zeit den ganzen beweis durchzugehen, ich nehem aber an, dass es dir helfen wird folgende gleichheit zu beweisen und zu benutzen:
[m] \binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1} [/m]
für [m] n, k \in \mathbb{N}_0, \, k \leq n-1 [/m]
veileicht später mehr von mir, wenn dir bis dahin niemand anderes geholfen hat!
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:51 Fr 31.12.2004 | | Autor: | Fuechsin |
hallo! also erstmal danke für euren schnellen einsatz. nur ist mir das immernoch nicht klar. vor allem, weil wir das möglichst (hat unser lehrer in mathe profilkurs extra gesagt) NICHT mit dem summenzeichen, sondern ausschreiben sollen... und demensprechend wüsst ich nich, wie ich das jetzt so machen sollte(siehe mein ansatz) und warum man jetzt einfach von dem hoch +1 das in die fakultät klammer gepackt wird ...? warum darf man das? wäre super, wenn mir dsas jemadn erklären könnte, also nur mit dem beweis, den versteh ich so ohne kommentar nicht, weil ich da eben was nicht kenne...? das ist mein problem... und wie gesagt, wenn ichs ausschreieb, dann muss das doch auch irgednwie gehen, nur wie? welche regel wende ich da an, damit ich was in die fakultät klammer bekomme?
freue mich über jede weitere hilfe! danke! :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:45 So 02.01.2005 | | Autor: | Zai-Ba |
Nur der Vollständigkeit wegen:
Bei der Vollständigen Induktion beweist man eine Vorgabe dadurch, dass man zuerst z.B. '1' einsetzt und sich danach überlegt: wenn's für '1' gilt, gilt's dann auch für '1+1' ? => Es gilt für '2'
Das Ziel dabei ist, in deinem Fall, Dieses (a+b), was vor der Summe Steht irgendwie so in die Summe rein zu quetschen, dass nachher Die gleiche Summe dasteht, nur dass sie nicht mehr bis n, sondern bis n+1 geht. Du warst also auf dem richtigen Weg, du musst lediglich für die ellenlangen Addition eine Summenformel finden.
viel Erfolg, Zai-Ba
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:04 Sa 01.01.2005 | | Autor: | Fuechsin |
dankeschön danke, ich glaube damit werd ich es raffen. also ich hab es mir erst im grobene angesehen und mich noch ncih wirklich reingedacht( dazu fehlte mir heute dann doch die zeit, motivation und konzentration...*gääähn*)aber ich denke, wnen ich mir das genauer ansehe, dann hast du mir da richtig gute tipps gegeben! danke.kann es zqar noch ncith ausdrücklich sagen, aber falls ich was doch noch nich verstehe, na dann schreibe ich eben nochmal, hier sind ja immer welche die antworten, das is echt klasse! *freu*
viele grüße und vor allem
EIN FROHES NEUES JAHR an alle!!!!!!!!
Inga
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:28 Fr 31.12.2004 | | Autor: | andreas |
hi
mit dem summenzeichen ist das meiner meinung nach nur geschmackssache, das kriegt man mit oder ohne summenzeichen hin.
ich neheme jetzt einfach mal an, dass die aussage
[m] \binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1} [/m]
für [m] n, k \in \mathbb{N}_0, \, k \leq n-1 [/m] aus meinem obigen post bewiesen ist. das geht eigentlich mit ganz einfachem umformen. probiere doch mal die definition der beiden seiten hinzuschreiben und dann etwas herumzuprobieren. die gleichung besagt einfach nur was vom pascal'schen dreieck her schon bekannt ist, nämlich, dass wenn man "zwei benachtbarte binominalkoeffizienten addiert erhält man den binominalkoeffizient, der in der mitte der beiden eine zeile tiefer steht"!
dein beweis sieht bis dahin, wo du ihn aufgeschrieben hast schon ganz gut aus:
> Die formel [mm](a+b)^{n}= \summe_{i=o}^n \vektor{n\\i} \*a^{n-i}\*b^{i}[/mm]
> gilt für n [mm]\in \IN
[/mm]
> mit a, b [mm]\not=[/mm] 0
die vorrausstezung [m] a, b \not= 0 [/m] braucht man gar nicht die aussage gilt sogar für alle [m] a, b \in \mathbb{R} [/m]
> n=1
> [mm](a+b)^{1}= \summe_{i=0}^{1}\vektor{1\\0} \*a^{1-0}\*b^{0}
[/mm]
>
>
> [mm]a^{1}+b^{1}= 1\*a^{1}\*b^{0}+ 1\*a^{0}\*b^{1}[/mm]
>
>
>
> Schluss:
> zu zeigen: [mm](a+b)^{n+1}[/mm] = [mm]\summe_{i=o}^n+1 \vektor{n+1\\i} \*a^{n+1-i}\*b^{i}[/mm]
>
>
>
> [mm](a+b)^{n+1}=[/mm] (a+b) [mm]\* (a+b)^{n}
[/mm]
> (jetzt die annahme
> einsetzen für den zweiten teil)
>
> = (a+b) [mm]\* \summe_{i=o}^n \vektor{n\\i} \*a^{n-i}\*b^{i}
[/mm]
>
> (das schreibe ich jetzt aus)
>
> =(a+b) [mm]\* (\vektor{n\\0}\*a^{n}+\vektor{n\\1}\*a^{n-1}\+b^{1}+...+\vektor{n\\n}\*b^{n})
[/mm]
>
> so toll ja, da kann ich ganz viel zusammenfassen über
> mehrere schritte und dann komme ich bis hierhin:
>
> [mm]=\vektor{n\\0}\*(a^{n+1}+a^{n}\*b)+\vektor{n\\1}\*(a^{n}\*b+a^{n-1}\*b^{2})+\vektor{n\\2}\*(a^{n-1}\*b^{2}+a^{n-2}\*b^{3})+...\vektor{n\\n}\*(a^{n-n}\*b^{n}+a^{n-n}\*b^{n+1})
[/mm]
hier kommt nun der entscheidende schritt: die ganz sache kann man auch anders anordnen:
[m] = \binom{n}{0} a^{n+1} + \binom{n}{0} a^nb + \binom{n}{1} a^nb + \binom{n}{1}a^{n-1}b^2 + \binom{n}{2}a^{n-1}b^2 + \hdots + \binom{n}{n-1} ab^n + \binom{n}{n} ab^n + \binom{n}{n} b^{n+1} [/m]
[m] = \binom{n}{0} a^{n+1} + \left[ \binom{n}{0} + \binom{n}{1} \right] a^n b + \left[ \binom{n}{1} + \binom{n}{2} \right] a^{n-1}b^2 + \hdots + \left[ \binom{n}{n-1} + \binom{n}{n} \right] ab^n + \binom{n}{n} b^{n+1} [/m]
dann kann man die beiden alleinstehede binominalkoeffizienetn einfach "geschickt" verändern, da nach definition gilt [m] \binom{n}{0} = 1 = \binom{n+1}{0} [/m] und [m] \binom{n}{n} = 1 = \binom{n+1}{n+1} [/m], also
[m] = \binom{n+1}{0} a^{n+1} + \left[ \binom{n}{0} + \binom{n}{1} \right] a^n b + \left[ \binom{n}{1} + \binom{n}{2} \right] a^{n-1}b^2 + \hdots + \left[ \binom{n}{n-1} + \binom{n}{n} \right] ab^n + \binom{n+1}{n+1} b^{n+1} [/m]
andererseits gilt für die "geeparten" binominalkoeffizienten nach der ganz oben angeführten formel, dass z.b. ($k=0$) [m] \binom{n}{0} + \binom{n}{1} = \binom{n+1}{1} [/m] und ($k=1$) [m] \binom{n}{1} + \binom{n}{2} = \binom{n+1}{2} [/m], ..., ($k=n-1$) [m] \binom{n}{n-1} + \binom{n}{n} = \binom{n+1}{n} [/m], also eingesetzt ...
hier kannst du ja mal weiter dein glück versuchen. wenn du nicht weiterkommen solltest, oder der beweis für obige identität dir unklar ist, dann melde dich einfach nochmal und dir wird bestimmt jemand helfen.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:10 Sa 01.01.2005 | | Autor: | Fuechsin |
für deine hilfe!
mensch, ich muss mich erst an das ganze hier gewöhnene, wie da shcon so nett steht NEWBIe, ja das merke ich...*dumdidum*...also ich muss ncoh ein bisschen üben, aber die mitteliung, die da bei der nachrricht von bastiane dran is, die gilt natrülich besonders für deinen eintrag, der is ja nun ganz prima aufgeschlüsselt und ich glaub den werd ich verstehene(wie schon oben in der andern nachricht gesagt...)also viele danke nochmal, und falls ich doch nu immer noch nich alles verstehe, na dann werd ich mich wohl nochmal melden *g*
dir auch ein frohes neues!!!
viele grüße, inga
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