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Hallo,
ich habe hier eine tolle Aufgabe und komme nicht wirklich weiter.
Für alle [mm] \alpha,x\in\IR [/mm] mit |x| < 1 ist die binomische Reihe [mm] b_\alpha [/mm] (x) definiert durch
[mm] b_\alpha [/mm] (x) := [mm] \summe_{n=0}^{\infty} {\alpha \choose n} x^n [/mm] = [mm] 1+{\alpha \choose 1}x+{\alpha \choose 2}x^2 [/mm] +...
Zeigen Sie:
a) Die binomische Reihe [mm] b_\alpha [/mm] (x) ist für die angegebenen [mm] \alpha, [/mm] x absolut konvergent
d) Es ist [mm] b_\alpha [/mm] (x) = [mm] (1+x)^\alpha [/mm] für alle [mm] \alpha\in\IZ
[/mm]
Bitte um eure Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:21 Di 30.11.2004 | | Autor: | maria |
a)
In den Fällen [mm] \alpha=0,1,2,... [/mm] ist [mm] \vektor{\alpha \\ n}=0 [/mm] für [mm] n>\alpha.
[/mm]
Im Fall [mm] \alpha\not=0,1,2,... [/mm] ist [mm] \vektor{\alpha \\ n} \not=0 [/mm] für [mm] n\in \IN.
[/mm]
Zur Untersuchung der Konvergenz von [mm] b_{\alpha }(x) [/mm] sei [mm] \alpha\not=0; [/mm] dann gilt für [mm] n\to\infty
[/mm]
[mm] |\vektor{\alpha \\ n+1}*\alpha^{n+1}/ \vektor{\alpha \\ n}*\alpha^{n}|= |\bruch{\alpha-n}{n+1}|*|\alpha|\to|\alpha|.
[/mm]
Das Quotientenkriterium ergibt damit:
Die Binominalreihe [mm] b_{\alpha }(x) [/mm] zu [mm] \alpha\not=0,1,2,... [/mm] konvergiert für [mm] |\alpha|>1
[/mm]
Aufgabe d) ist etwas zu viel zu schreiben. Ich könnte dir das per email schicken. Meine email-Adresse ist: 4akai@web.de. Hast du übrigens eine Idee zur Aufgabe b) und c)?? Damit komme ICH überhaupt nicht weiter.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:36 Di 30.11.2004 | | Autor: | maria |
Bei meiner Antwort haben sich ein paar Fehler eingeschlichen.
Es heißt nicht: [mm] \alpha^{n},\alpha^{n+1}, |\alpha|, [/mm] sondern natürlich [mm] x^{n},x^{n+1},|x|. [/mm] Dass das keinem aufgefallen ist 
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