Binomische Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:46 So 26.03.2017 | | Autor: | X3nion |
Hallo zusammen! 
Ich habe Fragen zum Beweis über die Binomische Taylor-Reihe.
Er lautet im Forster wie folgt:
Satz: Sei [mm] \alpha \in \IR. [/mm] Dann gilt für |x| < 1
[mm] (1+x)^{\alpha} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \vektor{\alpha\\n}x^{n}.
[/mm]
Dabei ist [mm] \vektor{\alpha\\n} [/mm] = [mm] \produkt_{k=1}^{n} \frac{\alpha-k+1}{k}.
[/mm]
Beweis:
a) Berechnung der Taylor-Reihe von f(x) = [mm] (1+x)^{\alpha} [/mm] mit Entwicklungspunkt 0:
[mm] f^{(k)}(x) [/mm] = [mm] \alpha(\alpha-1) [/mm] * ... * [mm] (\alpha-k+1)(1+x)^{\alpha-k} [/mm] = [mm] k!\vektor{\alpha\\k}(1+x)^{\alpha-k}.
[/mm]
Da also [mm] \frac{f^{(k)}(0)}{k!} [/mm] = [mm] \vektor{\alpha\\k}, [/mm] lautet die Taylor-Reihe von f
T[f,0](x) = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \vektor{\alpha\\k}x^{k}
[/mm]
b) Gezeigt wird nun, dass die Taylor-Reihe für |x| < 1 konvergiert. Dazu wird das Quotienten-Kriterium verwendet. Es darf angenommen werden, dass [mm] \alpha \not\in \IN [/mm] und x [mm] \not= [/mm] 0.
Sei [mm] a_{n}:= \vektor{\alpha\\n}x^{n}. [/mm] Dann gilt
[mm] \left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| [/mm] = [mm] \left|\frac{\vektor{\alpha\\n+1}x^{n+1}}{\vektor{\alpha\\n}x^{n}}\right| [/mm] = |x| * [mm] \left|\frac{\alpha-n}{n+1}\right|.
[/mm]
Da [mm] lim_{n\rightarrow\infty} [/mm] = |x| * [mm] lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\alpha-n}{n+1} [/mm] = |x| < 1, existiert zu [mm] \theta [/mm] mit |x| < [mm] \theta [/mm] < 1 ein [mm] n_{0}, [/mm] sodass
[mm] \left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| \le \theta \vorall [/mm] n [mm] \ge n_0.
[/mm]
Also konvergiert die Taylor-Reihe für |x| < 1.
c) Nun wird bewiesen, dass die Taylor-Reihe gegen f konvergiert. Folglich ist zu zeigen, dass das Restglied für |x| < 1 gegen 0 konvergiert.
Anwendung der Integral-Form des Restglieds ergibt:
[mm] R_{n+1}(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{n!} \integral_{0}^{x}{(x-t)^{n} f^{(n+1)}(t) dt} [/mm] = [mm] (n+1)\vektor{\alpha\\n+1} \integral_{0}^{x}{(x-t)^{n} (1+t)^{\alpha-n-1} dt}
[/mm]
1. Fall: 0 [mm] \le [/mm] x < 1
Wir setzen c:= [mm] max(1,(1+x)^{\alpha}). [/mm] Dann gilt für 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] x
0 [mm] \le (1+t)^{\alpha-n-1} \le (1+t)^{\alpha} \le [/mm] C,
also
[mm] |R_{n+1}(x)| [/mm] = [mm] (n+1)\left|\vektor{\alpha\\n+1}\right| \integral_{0}^{x}{(x-t)^{n} (1+t)^{\alpha-n-1} dt} \le (n+1)\left|\vektor{\alpha\\n+1}\right| [/mm] C [mm] \integral_{0}^{x}{(x-t)^{n} dt} [/mm] = C [mm] \left|\vektor{\alpha\\n+1}\right|.
[/mm]
Weil nach b) die Reihe [mm] \summe_{k=0}^{\infty} [/mm] für |x| < 1 konvergiert, folgt
[mm] lim_{k\rightarrow\infty} \left|\vektor{\alpha\\k}\right| x^{k} [/mm] = 0, daher [mm] lim_{n\rightarrow\infty} R_{n+1}(x) [/mm] = 0.
2. Fall: -1 < x < 0. Hier gilt
[mm] |R_{n+1}(x)| [/mm] = (n+1) [mm] \left|\vektor{\alpha\\n+1} \integral_{0}^{|x|}{(x+t)^{n}(1-t)^{\alpha-n-1} dt}\right|
[/mm]
= [mm] \left|\alpha\vektor{\alpha-1\\n}\right| \integral_{0}^{|x|}{(|x|-t)^{n}(1-t)^{\alpha-n-1} dt}
[/mm]
[mm] \le \left|\alpha\vektor{\alpha-1\\n}\right| \integral_{0}^{|x|}{(|x|-t|x|)^{n}(1-t)^{\alpha-n-1} dt}
[/mm]
= [mm] \left|\alpha\vektor{\alpha-1\\n}\right| |x|^{n} [/mm] * [mm] \integral_{0}^{|x|}{(1-t)^{\alpha-1} dt}
[/mm]
[mm] \le [/mm] C [mm] \left| \vektor{\alpha-1\\n}x^{n} \right| [/mm] mit C:= [mm] |\alpha|* \integral_{0}^{|x|}{(1-t)^{\alpha-1} dt}.
[/mm]
Da wiederum nach b) die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\vektor{\alpha-1\\n}x^{n} [/mm] für |x| < 1 konvergiert, folgt
[mm] lim_{n\rightarrow\infty} R_{n+1}(x) [/mm] = 0.
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Nun zu meinen Fragen:
1) Zuerst einmal frage ich mich vor dem Beweis, was im Satz für x = 0 geschieht. Dann würde doch gelten [mm] 1^{\alpha}= \summe_{n=0}^{\infty} \vektor{\alpha\\n}0^{n} [/mm] <=> 1 = 0, oder habe ich irgendwo einen grundliegenden Denkfehler?
2) Wird in b) [mm] \alpha \not\in \IN [/mm] angenommen, da der Satz sonst aus dem binomischen Lehrsatz folgt?
Zum 1. Fall:
3) Kann der Fall 0 = [mm] (1+t)^{\alpha-n-1} [/mm] überhaupt eintreten? Weil im kleinsten Fall t = 0 erhält man doch [mm] (1+0)^{\alpha-n-1} [/mm] = 1
4) Wenn im kleinsten Fall [mm] (1+t)^{\alpha-n-1} [/mm] = 1 ist, wieso wird dann definiert C:= [mm] max(1,(1+x)^{\alpha})? [/mm] Es ist doch auch [mm] (1+x)^{\alpha}= [/mm] 1 im kleinsten Falle, somit kann doch eigentlich der Ausdruck [mm] (1+x)^{\alpha} [/mm] nur größer als 1 werden und nicht kleiner als 1, und folglich ist dann ja automatisch [mm] (1+x)^{\alpha} [/mm] das Maximum, oder?
Die Fragen zum 2. Fall würde ich stellen, wenn ich alles bis dahin verstanden habe.
Wie immer wäre ich für eure Antworten sehr dankbar!
Einen schönen Sonntag noch,
X3nion
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Hiho,
> 1) Zuerst einmal frage ich mich vor dem Beweis, was im Satz
> für x = 0 geschieht. Dann würde doch gelten [mm]1^{\alpha}= \summe_{n=0}^{\infty} \vektor{\alpha\\n}0^{n}[/mm]
Ja.
> <=> 1 = 0, oder habe ich irgendwo einen grundliegenden Denkfehler?
Nix mit Äquivalenz, du vernachlässigst nämlich den ersten Summanden, der da lautet: [mm] $\vektor{\alpha\\0} 0^{0}$
[/mm]
[mm] $\vektor{\alpha\\0}$ [/mm] ist per Definition $1$ und [mm] $0^{0}$ [/mm] ist (hier) ebenfalls 1.
D.h. es gilt [mm] $\vektor{\alpha\\0} 0^{0} [/mm] = 1 * 1 = 1$
> 2) Wird in b) [mm]\alpha \not\in \IN[/mm] angenommen, da der Satz sonst aus dem binomischen Lehrsatz folgt?
Jein!
Primär kommt das daher, weil du sonst Probleme in der Argumentation bekämst, denn du betrachtest ja
$ [mm] \left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| [/mm] = [mm] \left|\frac{\vektor{\alpha\\n+1}x^{n+1}}{\vektor{\alpha\\n}x^{n}}\right| [/mm] $
Nun ist im Falle [mm] $\alpha \not\in\IN$ [/mm] aber [mm] $\vektor{\alpha\\n} \not= [/mm] 0$ und damit ist der Bruch immer wohldefiniert.
Wäre [mm] $\alpha\in\IN$ [/mm] so wäre [mm] $\vektor{\alpha\\n} [/mm] = 0$ für $n > [mm] \alpha$, [/mm] der Nenner würde irgendwann Null werden und der Bruch wäre nicht wohldefiniert.
Da aber bekannt ist, dass der Satz für [mm] $\alpha\in\IN$ [/mm] gilt, kann hier also [mm] $\alpha\not\in\IN$ [/mm] angenommen und das obige Problem damit vermieden werden.
> Zum 1. Fall:
>
> 3) Kann der Fall 0 = [mm](1+t)^{\alpha-n-1}[/mm] überhaupt
> eintreten? Weil im kleinsten Fall t = 0 erhält man doch
> [mm](1+0)^{\alpha-n-1}[/mm] = 1
korrekt. Die Abschätzung stimmt ja aber trotzdem.
> 4) Wenn im kleinsten Fall [mm](1+t)^{\alpha-n-1}[/mm] = 1 ist, wieso
> wird dann definiert C:= [mm]max(1,(1+x)^{\alpha})?[/mm] Es ist doch
> auch [mm](1+x)^{\alpha}=[/mm] 1 im kleinsten Falle, somit kann doch
> eigentlich der Ausdruck [mm](1+x)^{\alpha}[/mm] nur größer als 1
> werden und nicht kleiner als 1, und folglich ist dann ja
> automatisch [mm](1+x)^{\alpha}[/mm] das Maximum, oder?
Du verwendest dasselbe c ja auch im zweiten Teil der Aufgabe im Fall $-1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 0$ und dort kann eben auch [mm] $(1+x)^\alpha [/mm] < 1$ gelten.
In dem Fall willst du aber 1 haben.
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 00:09 Di 28.03.2017 | | Autor: | X3nion |
Hallo Gono,
vielen Dank für das Drüberschauen und ausführliche Antworten!
> Nix mit Äquivalenz, du vernachlässigst nämlich den ersten Summanden, der da
> lautet: $ [mm] \vektor{\alpha\\0} 0^{0} [/mm] $
> $ [mm] \vektor{\alpha\\0} [/mm] $ ist per Definition $ 1 $ und $ [mm] 0^{0} [/mm] $ ist (hier) ebenfalls > 1.
> D.h. es gilt $ [mm] \vektor{\alpha\\0} 0^{0} [/mm] = 1 [mm] \cdot{} [/mm] 1 = 1 $
Wieso ist in diesem Fall [mm] 0^{0} [/mm] = 1? Ich dachte eigentlich, [mm] 0^{0} [/mm] wäre nicht definiert?
> Nun ist im Falle $ [mm] \alpha \not\in\IN [/mm] $ aber $ [mm] \vektor{\alpha\\n} \not= [/mm] 0 $
> und damit ist der Bruch immer wohldefiniert.
> Wäre $ [mm] \alpha\in\IN [/mm] $ so wäre $ [mm] \vektor{\alpha\\n} [/mm] = 0 $ für $ n > [mm] \alpha [/mm] $, > der Nenner würde irgendwann Null werden und der Bruch wäre nicht
> wohldefiniert.
> Da aber bekannt ist, dass der Satz für $ [mm] \alpha\in\IN [/mm] $ gilt, kann hier
> also $ [mm] \alpha\not\in\IN [/mm] $ angenommen und das obige Problem damit
> vermieden werden.
Okay klar, das macht Sinn! Und man nimmt x = 0 ebenfalls raus, weil sonst der Nenner ebenso "0" wäre?
> Du verwendest dasselbe c ja auch im zweiten Teil der Aufgabe im Fall
> $ -1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 0 $ und dort kann eben auch $ [mm] (1+x)^\alpha [/mm] < 1 $ gelten.
> In dem Fall willst du aber 1 haben.
1) Hmm im zweiten Fall wird C ja definiert als C:= [mm] |\alpha| \integral_{0}^{|x|}{(1-t)^{\alpha-1}dt}.
[/mm]
Wieso ist dies dasselbe C wie im 1. Fall mit [mm] C:=max(1,(1+x)^{\alpha}) [/mm] ?
Wenn ich C:= [mm] |\alpha| \integral_{0}^{|x|}{(1-t)^{\alpha-1}dt} [/mm] ausrechne, erhalte ich:
C = [mm] \frac{|\alpha|}{\alpha} [/mm] * [mm] (-1)*[(1-t)^{\alpha}]_{0}^{|x|} [/mm] = - [mm] \frac{|\alpha|}{\alpha} [/mm] * [mm] [(1-|x|)^{\alpha} [/mm] - 1]
Ist nun [mm] \alpha [/mm] > 0, so ergibt sich: [mm] -(1-|x|)^{\alpha} [/mm] + 1
Ist [mm] \alpha [/mm] < 0, so folgt: [mm] (1-|x|)^{\alpha} [/mm] - 1
---
Ich hatte nun noch ein paar Fragen zum 2. Fall:
2) Mir ist die Anwendung des Absolutbetrages auf [mm] R_{n+1}(x) [/mm] nicht so ganz klar.
Wieso wird aus [mm] R_{n+1}(x) [/mm] = [mm] (n+1)\vektor{\alpha\\n+1} \integral_{0}^{x}{(x-t)^{n} (1+t)^{\alpha-n-1} dt} [/mm] nach Anwendung des Absolutbetrages schlussendlich
[mm] |R_{n+1}(x)| [/mm] = (n+1) [mm] \left|\vektor{\alpha\\n+1} \integral_{0}^{|x|}{(x+t)^{n}(1-t)^{\alpha-n-1} dt}\right|, [/mm] also wieso verwendet man |x| als obere Integrationsgrenze und wieso wird aus [mm] (x-t)^{n} [/mm] => [mm] (x+t)^{n} [/mm] und aus [mm] (1+t)^{\alpha-n-1} [/mm] => [mm] (1-t)^{\alpha-n-1} [/mm] ?
3) Wieso wird nach Auflösung des Absolutbetrages aus (n+1) [mm] \left|\vektor{\alpha\\n+1} \integral_{0}^{|x|}{(x+t)^{n}(1-t)^{\alpha-n-1} dt}\right| [/mm] insgesamt [mm] \left|\alpha\vektor{\alpha-1\\n}\right| \integral_{0}^{|x|}{(|x|-t)^{n}(1-t)^{\alpha-n-1} dt} [/mm] ?
Den Schritt (n+1) * [mm] \left|\vektor{\alpha\\n+1}\right| [/mm] verstehe ich, denn es ist (n+1) * [mm] \left|\vektor{\alpha\\n+1}\right| [/mm] = [mm] \left| (n+1) * \vektor{\alpha\\n+1}\right| [/mm] = [mm] \left| (n+1) * \frac{\alpha!}{(n+1)!(\alpha-n-1)!}\right| [/mm] = [mm] \left| \frac{\alpha!}{n!(\alpha-n-1)!}\right| [/mm] = [mm] \left| \alpha \frac{(\alpha-1)!}{n!(\alpha-n-1)!}\right| [/mm] = [mm] \left| \alpha * \vektor{\alpha-1\\n}\right|
[/mm]
Aber wie ist der Schritt [mm] \left|\integral_{0}^{|x|}{(x+t)^{n}(1-t)^{\alpha-n-1} dt}\right| [/mm] = [mm] \integral_{0}^{|x|}{(|x|-t)^{n}(1-t)^{\alpha-n-1} dt} [/mm] begründet, also dass der Betrag komplett verschwindet und aus [mm] (x+t)^{n} [/mm] insgesamt [mm] (|x|-t)^{n} [/mm] wird?
4) Ist [mm] \left|\alpha\vektor{\alpha-1\\n}\right| \integral_{0}^{|x|}{(|x|-t)^{n}(1-t)^{\alpha-n-1} dt} \le \left|\alpha\vektor{\alpha-1\\n}\right| \integral_{0}^{|x|}{(|x|-t|x|)^{n}(1-t)^{\alpha-n-1} dt}, [/mm] weil 0 < |x| < 1 gilt und somit der Faktor (|x| - [mm] t|x|)^{n} [/mm] vergrößert wird?
Und kann überhaupt Gleichheit eintreten? Weil Gleichheit würde ja eigentlich nur bei |x| = 1 eintreten, weil dann (|x| - [mm] t*1)^{n} [/mm] resultieren würde, somit würde dasselbe da stehen wie links vom [mm] "\le" [/mm] Zeichen.
Der Beweis enthält viele Umformungen, deshalb würde ich mich wieder sehr über Antworten freuen!
Viele Grüße,
X3nion
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:26 Fr 31.03.2017 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 16:08 So 02.04.2017 | | Autor: | X3nion |
Hallo zusammen,
da der Fälligkeitszeitraum abgelaufen ist, poste ich meinen Beitrag nochmals in der Hoffnung auf Antworten. Wäre euch dankbar!
VG X3nion
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Hallo Gono,
vielen Dank für das Drüberschauen und ausführliche Antworten!
> Nix mit Äquivalenz, du vernachlässigst nämlich den ersten Summanden, der da
> lautet: $ [mm] \vektor{\alpha\\0} 0^{0} [/mm] $
> $ [mm] \vektor{\alpha\\0} [/mm] $ ist per Definition $ 1 $ und $ [mm] 0^{0} [/mm] $ ist (hier) ebenfalls > 1.
> D.h. es gilt $ [mm] \vektor{\alpha\\0} 0^{0} [/mm] = 1 [mm] \cdot{} [/mm] 1 = 1 $
Wieso ist in diesem Fall $ [mm] 0^{0} [/mm] $ = 1? Ich dachte eigentlich, $ [mm] 0^{0} [/mm] $ wäre nicht definiert?
> Nun ist im Falle $ [mm] \alpha \not\in\IN [/mm] $ aber $ [mm] \vektor{\alpha\\n} \not= [/mm] 0 $
> und damit ist der Bruch immer wohldefiniert.
> Wäre $ [mm] \alpha\in\IN [/mm] $ so wäre $ [mm] \vektor{\alpha\\n} [/mm] = 0 $ für $ n > [mm] \alpha [/mm] $, > der Nenner würde irgendwann Null werden und der Bruch wäre nicht
> wohldefiniert.
> Da aber bekannt ist, dass der Satz für $ [mm] \alpha\in\IN [/mm] $ gilt, kann hier
> also $ [mm] \alpha\not\in\IN [/mm] $ angenommen und das obige Problem damit
> vermieden werden.
Okay klar, das macht Sinn! Und man nimmt x = 0 ebenfalls raus, weil sonst der Nenner ebenso "0" wäre?
> Du verwendest dasselbe c ja auch im zweiten Teil der Aufgabe im Fall
> $ -1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 0 $ und dort kann eben auch $ [mm] (1+x)^\alpha [/mm] < 1 $ gelten.
> In dem Fall willst du aber 1 haben.
1) Hmm im zweiten Fall wird C ja definiert als C:= $ [mm] |\alpha| \integral_{0}^{|x|}{(1-t)^{\alpha-1}dt}. [/mm] $
Wieso ist dies dasselbe C wie im 1. Fall mit $ [mm] C:=max(1,(1+x)^{\alpha}) [/mm] $ ?
Wenn ich C:= $ [mm] |\alpha| \integral_{0}^{|x|}{(1-t)^{\alpha-1}dt} [/mm] $ ausrechne, erhalte ich:
C = $ [mm] \frac{|\alpha|}{\alpha} [/mm] $ * $ [mm] (-1)\cdot{}[(1-t)^{\alpha}]_{0}^{|x|} [/mm] $ = - $ [mm] \frac{|\alpha|}{\alpha} [/mm] $ * $ [mm] [(1-|x|)^{\alpha} [/mm] $ - 1]
Ist nun $ [mm] \alpha [/mm] $ > 0, so ergibt sich: $ [mm] -(1-|x|)^{\alpha} [/mm] $ + 1
Ist $ [mm] \alpha [/mm] $ < 0, so folgt: $ [mm] (1-|x|)^{\alpha} [/mm] $ - 1
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Ich hatte nun noch ein paar Fragen zum 2. Fall:
2) Mir ist die Anwendung des Absolutbetrages auf $ [mm] R_{n+1}(x) [/mm] $ nicht so ganz klar.
Wieso wird aus $ [mm] R_{n+1}(x) [/mm] $ = $ [mm] (n+1)\vektor{\alpha\\n+1} \integral_{0}^{x}{(x-t)^{n} (1+t)^{\alpha-n-1} dt} [/mm] $ nach Anwendung des Absolutbetrages schlussendlich
$ [mm] |R_{n+1}(x)| [/mm] $ = (n+1) $ [mm] \left|\vektor{\alpha\\n+1} \integral_{0}^{|x|}{(x+t)^{n}(1-t)^{\alpha-n-1} dt}\right|, [/mm] $ also wieso verwendet man |x| als obere Integrationsgrenze und wieso wird aus $ [mm] (x-t)^{n} [/mm] $ => $ [mm] (x+t)^{n} [/mm] $ und aus $ [mm] (1+t)^{\alpha-n-1} [/mm] $ => $ [mm] (1-t)^{\alpha-n-1} [/mm] $ ?
3) Wieso wird nach Auflösung des Absolutbetrages aus (n+1) $ [mm] \left|\vektor{\alpha\\n+1} \integral_{0}^{|x|}{(x+t)^{n}(1-t)^{\alpha-n-1} dt}\right| [/mm] $ insgesamt $ [mm] \left|\alpha\vektor{\alpha-1\\n}\right| \integral_{0}^{|x|}{(|x|-t)^{n}(1-t)^{\alpha-n-1} dt} [/mm] $ ?
Den Schritt (n+1) * $ [mm] \left|\vektor{\alpha\\n+1}\right| [/mm] $ verstehe ich, denn es ist (n+1) * $ [mm] \left|\vektor{\alpha\\n+1}\right| [/mm] $ = $ [mm] \left| (n+1) \cdot{} \vektor{\alpha\\n+1}\right| [/mm] $ = $ [mm] \left| (n+1) \cdot{} \frac{\alpha!}{(n+1)!(\alpha-n-1)!}\right| [/mm] $ = $ [mm] \left| \frac{\alpha!}{n!(\alpha-n-1)!}\right| [/mm] $ = $ [mm] \left| \alpha \frac{(\alpha-1)!}{n!(\alpha-n-1)!}\right| [/mm] $ = $ [mm] \left| \alpha \cdot{} \vektor{\alpha-1\\n}\right| [/mm] $
Aber wie ist der Schritt $ [mm] \left|\integral_{0}^{|x|}{(x+t)^{n}(1-t)^{\alpha-n-1} dt}\right| [/mm] $ = $ [mm] \integral_{0}^{|x|}{(|x|-t)^{n}(1-t)^{\alpha-n-1} dt} [/mm] $ begründet, also dass der Betrag komplett verschwindet und aus $ [mm] (x+t)^{n} [/mm] $ insgesamt $ [mm] (|x|-t)^{n} [/mm] $ wird?
4) Ist $ [mm] \left|\alpha\vektor{\alpha-1\\n}\right| \integral_{0}^{|x|}{(|x|-t)^{n}(1-t)^{\alpha-n-1} dt} \le \left|\alpha\vektor{\alpha-1\\n}\right| \integral_{0}^{|x|}{(|x|-t|x|)^{n}(1-t)^{\alpha-n-1} dt}, [/mm] $ weil 0 < |x| < 1 gilt und somit der Faktor (|x| - $ [mm] t|x|)^{n} [/mm] $ vergrößert wird?
Und kann überhaupt Gleichheit eintreten? Weil Gleichheit würde ja eigentlich nur bei |x| = 1 eintreten, weil dann (|x| - $ [mm] t\cdot{}1)^{n} [/mm] $ resultieren würde, somit würde dasselbe da stehen wie links vom $ [mm] "\le" [/mm] $ Zeichen.
Der Beweis enthält viele Umformungen, deshalb würde ich mich wieder sehr über Antworten freuen!
Viele Grüße,
X3nion
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:20 Do 06.04.2017 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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