Binomische Formel für Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Gibt es ein A,B [mm] \in K^{nxn},n\ge1 [/mm] für das [mm] (A+B)(A-B)=A^{2}-B^{2} [/mm] nicht gilt?
Gilt doch eig. immer, oder bin ich blind und verstehe die Aufgabe nicht ganz?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:29 Sa 13.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo misterbecks,
> Gibt es ein A,B [mm]\in K^{nxn},n\ge1[/mm] für das
> [mm](A+B)(A-B)=A^{2}-B^{2}[/mm] nicht gilt?
>
> Gilt doch eig. immer, oder bin ich blind und verstehe die
> Aufgabe nicht ganz?
Es handelt sich ja hier um die Menge der Matrizen, die keinen (kommutativen)  Körper bildet, nicht mal einen kommutativen Ring.
Deswegen wäre es hier schon interessant zu wissen, ob diese binomische Formel auch für Matrizen gilt -- oder eben nicht.
Wenn du meinst, die Formel gilt: Weise sie nach.
Wenn du meinst, sie ist falsch: Finde ein Gegenbeispiel.
Viele Grüße,
Marc
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Hatte den falschen Aufgabentext zur Hand, sorry. Nochmal die volle Aufgabe...
Sei K Körper. Für welche A,B [mm] \in K^{nxn},n\ge1 [/mm] gilt: [mm] (A+B)(A-B)=(A^{2}-B^{2})
[/mm]
Habe durch langes Vergleich zwar ein paar Formeln aufgestellt, die sich aber unmöglich allgemein beweisen lassen. Aber kann man hier etwas einschränken? Grundsätzlich ist doch [mm] (A+B)(A-B)=A^{2}-AB+BA-B^{2} \overbrace{Ist hier das Problem?}^{=}A^{2}-B^{2} [/mm] oder? Aber vielleicht bekommt man hier Probleme mit den Körperaxiomen???
Bin verwirrt....
ODER muss einfach gelten, dass BA-AB=0 ? Denn sonst löst es sich nicht auf..... ????????
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Hallo!
> Grundsätzlich ist doch [mm](A+B)(A-B)=A^{2}-AB+BA-B^{2} \overbrace{Ist hier das Problem?}^{=}A^{2}-B^{2}[/mm]
> oder? Aber vielleicht bekommt man hier Probleme mit den
> Körperaxiomen???
>
> Bin verwirrt....
>
> ODER muss einfach gelten, dass BA-AB=0 ? Denn sonst löst es
> sich nicht auf..... ????????
Ja, genau das würde ich sagen. Das erste Gleichheitszeichen gilt, und damit das zweite dann auch gilt, muss eben genau BA-AB=0 sein. Und jetzt musst du solche Matrizen finden, für die das gilt.
Würde ich jedenfalls sagen - ich hoffe, ich erzähle nichts Falsches.
Viele Grüße
Bastiane
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