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Wie oft muss man würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90%
a) mindestens eine Sechs zu würfeln,
b) mindestens fünf Sechsen zu würfeln? |
Hallo liebe Leute,
ich steh' gerade etwas auf dem Schlauch. Mir geht es um die Aufgabe b).
zu a)
$P(X [mm] \ge 1)\; [/mm] = [mm] \;\sum_{k=1}^{n}{n \choose k}* \left(\frac{1}{6} \right)^k* \left(\frac{5}{6} \right)^{n-k} \; \ge \;\; [/mm] 0,9$ Das n wäre zu bestimmen.
Das geht hier über die Gegen-Wahrscheinlichkeit:
$P(X [mm] \ge 1)\; [/mm] = [mm] \; [/mm] 1-P(X=0) [mm] \; [/mm] = [mm] \; [/mm] 1- [mm] \left(\frac{5}{6} \right)^n$
[/mm]
$ 1- [mm] \left(\frac{5}{6} \right)^n \ge [/mm] 0,9$
$n [mm] \; \ge \; \; \frac{ln(0,1)}{ln\left(\frac{5}{6}\right)}$
[/mm]
$n [mm] \; \ge \;12,63$
[/mm]
Man muss also mindestens 13 mal würfeln.
zu b)
[mm] $P(X\ge [/mm] 5) [mm] \; [/mm] = [mm] \; \sum_{k=5}^{n}{n \choose k}*\left(\frac{1}{6} \right)^k* \left(\frac{5}{6} \right)^{n-k} \; \ge \;\; [/mm] 0,9$
oder
$1-P(4 [mm] \ge [/mm] X [mm] \ge [/mm] 0) [mm] \; \ge \;\; [/mm] 0,9$
$0,1 [mm] \ge \; [/mm] P(4 [mm] \ge [/mm] X [mm] \ge [/mm] 0)$
$0,1 [mm] \; \ge \; \sum_{k=0}^{4}{n \choose k}*\left(\frac{1}{6} \right)^k* \left(\frac{5}{6} \right)^{n-k} [/mm] $
Das habe ich bisher gelöst mittels 1. einer Excel-Tabelle: n = 46.
Und 2. numerisch mit dem CAS des Voyage200 (Derive):
${n [mm] \choose 0}*\left(\frac{1}{6} \right)^0* \left(\frac{5}{6} \right)^{n}+{n \choose 1}*\left(\frac{1}{6} \right)^1* \left(\frac{5}{6} \right)^{n-1}+{n \choose 2}*\left(\frac{1}{6} \right)^2* \left(\frac{5}{6} \right)^{n-2}+{n \choose 3}*\left(\frac{1}{6} \right)^3* \left(\frac{5}{6} \right)^{n-3}+{n \choose 4}*\left(\frac{1}{6} \right)^4* \left(\frac{5}{6} \right)^{n-4}-0,1 \; [/mm] = [mm] \; [/mm] 0$
Ergebnis: $n [mm] \; \approx \; [/mm] 45,8965279495 ...$ ; also $n [mm] \; \ge \; [/mm] 46$.
Meine Frage: gibt es da keine geschickte Umformung wie in a), um das n zu errechnen?
Besten Dank für eine Antwort!
LG & gute Nacht,
Martinius
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Hallo Martinius,
mindestens fünf Sechsen = höchstens zweimal keine Sechs
Damit könntest du das ganze bei b) auf eine Wahrscehinlichkeit der Form [mm] P(X\le{2}) [/mm] bringen. Wobei das eigentliche Problem bestehen bleibt: es führt auf eine Gleichung der Form
[mm] P(n)*q^n-c=0 [/mm] ; P(n): Polynom in n, [mm] q,c\in\IR^{+}
[/mm]
Meiner Ansicht nach bekommt man das nicht analytisch aufgelöst.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:54 Sa 30.06.2012 | | Autor: | Martinius |
Hallo Diophant,
Dank Dir für Deine Antwort!
Dann bin ich ja beruhigt.
LG, Martinius
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