Binomialrekursion < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:25 So 08.11.2009 | | Autor: | etoxxl |
| Aufgabe | Seien n, m natürliche Zahlen mit der Eigenschaft m [mm] \le [/mm] n.
Der Binomialkoeffizient zu n,m sei defniert durch:
[mm] \vektor{n \\ m}:= |\mathcal{P}_{m}({1, . . . , n })|
[/mm]
Wir erweitern diese Definition noch durch
[mm] \vektor{n \\ 0}:= |P_{0}({1, . . . , n })| [/mm] = 1.
Sei jetzt m < n vorausgesetzt. Zeigen Sie, dass
[mm] \vektor{n \\ m}:= \vektor{n-1 \\ m} [/mm] + [mm] \vektor{n-1 \\ m-1}
[/mm]
gilt. |
Hat jemand einen Lösungsansatz,
wie man diese Formel deuten und beweisen könnte?
Die Beweise dürfen nur mit Hilfe der Potenzmenge, also ohne die kombinatorische Formel durchgeführt werden.
Am Pascal'schen Dreieck sieht man, dass diese Formel auf jeden Fall stimmt,
nur wie man sie formal beweist, ist die Frage.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:07 So 08.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Seien n, m natürliche Zahlen mit der Eigenschaft m [mm]\le[/mm] n.
> Der Binomialkoeffizient zu n,m sei defniert durch:
> [mm]\vektor{n \\ m}:= |\mathcal{P}_{m}({1, . . . , n })|[/mm]
>
> Wir erweitern diese Definition noch durch
> [mm]\vektor{n \\ 0}:= |P_{0}({1, . . . , n })|[/mm] = 1.
> Sei jetzt m < n vorausgesetzt. Zeigen Sie, dass
> [mm]\vektor{n \\ m}:= \vektor{n-1 \\ m}[/mm] + [mm]\vektor{n-1 \\ m-1}[/mm]
Da sollte nicht $:=$ stehen, sondern $=$!
> gilt.
>
> Hat jemand einen Lösungsansatz,
> wie man diese Formel deuten und beweisen könnte?
> Die Beweise dürfen nur mit Hilfe der Potenzmenge, also
> ohne die kombinatorische Formel durchgeführt werden.
Dann musst du halt eine Bijektion zwischen [mm] $P_m(1, \dots, [/mm] n-1) [mm] \dot\cup P_{m-1}(1, \dots, [/mm] n-1) [mm] \to P_m(1, \dots, [/mm] n)$.
Tipp: jede Menge $A$ in [mm] $P_m(1, \dots, [/mm] n)$ enthaelt entweder $n$ (in diesem Fall ist $A [mm] \setminus \{ n \} \in P_{m-1}(1, \dots, [/mm] n-1)$) oder eben nicht (dann ist $A [mm] \in P_m(1, \dots, [/mm] n-1)$).
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:16 So 08.11.2009 | | Autor: | etoxxl |
Danke!
Mit dem Tipp ist alles klar.
|
|
|
|
