Binomiallehrsatz beweisen? < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hi, ich hoffe ihr könnt mir helfen. Wir sollen den Binomiallehrsatz beweisen. Für jede natürliche Zahl n und alle Zahlen a,b soll gelten:
[mm] (a+b)^{n}= \summe_{v=0}^n \pmat{ n \\ v }a^{n-v}b^{v}
[/mm]
Also irgendwie bin ich nach 1,5 Jahren völlig raus aus Mathe. Muss mich erst einmal wieder reinfinden.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:03 Fr 15.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Dann mal ran an's Werk:
Schauen wir uns das Produkt [mm] $(a+b)^n=\overbrace{(a+b)\cdot ...\cdot (a+b)}^{n\ mal}$ [/mm] an. Wir suchen eine Vereinfachung dessen, was sich ergibt, wenn wir alles ausmultipliziert haben. Aber da stellt sich die Frage: wie multiplizieren wir aus? Wir gehen von Klammer zu Klammer und wählen uns entweder a oder b aus, gehen zur nächsten und wählen wieder eines der beiden aus. Wenn wir durch alle Klammern durch sind, dann schreiben wir das entstandene Produkt als Summanden hinter das bisher ausgerechnete. So gehen wir alle Möglichen Kombinationen von a's und b's durch - zu guter letzt fassen wir noch gleiche Summanden zusamnmen und sind fertig. Mit gleichen Summanden meine ich dabei Summanden, bei denen jeweils Exponenten für a und die Exponenten für b gleich sind. Ein solcher Term [mm] $a^k\cdot b^{n-k}$ [/mm] ist entstanden, weil wir beim Durchgehen der n Klammern genau k mal das a und genau n-k mal das b gewählt haben. Und genau hier können wir schon einsetzen: wie viele Möglichkeiten gibt es denn, dies zu tun? Dies entspricht genau dem Binomialkoeffizienten [mm] $\vektor{n\\ k}$. [/mm] Dieser nämlich gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, k Elemente aus einer n-elementigen Menge auszuwählen. Die n-elementige Menge können wir uns nun als die Menge der Faktoren $(a+b)$ vorstellen, aus der wir die k Klammern aussuchen wollen, bei denen wir das a wählen. Wenn wir die Terme [mm] $a^k\cdot b^{n-k}$ [/mm] nach dem Ausmultiplizieren zusammenzählen, werden wir also feststellen, dass sie genau [mm] $\vektor{n\\ k}$ [/mm] mal auftauchen. Damit sind wir auch schon nahe am Ziel. Alles, was nun noch fehlt ist noch die Unterscheidung der Summandtypen, schließlich gibt es nach dem Ausmultiplizieren alle Terme von [mm] $a^n\cdot b^0$ [/mm] bis [mm] $a^0\cdot b^n$. [/mm] Für jeden dieser Terme kennen wir die Anzahl seines Auftauchens. Summieren wir also die Terme für k (als Exponenten von a) von 0 bis n mitsamt ihren Häufigkeiten auf, so erhalten wir letztenendes die Summe, die sich nach dem Ausmultiplizieren gebildet hat, nämlich genau: [mm] $\summe_{k=0}^{n}{\vektor{n\\ k}\cdot a^k\cdot b^{n-k}}$, [/mm] was der Binomiale Lehrsatz ist.
Ich hoffe ich konnte dir mit dieser hoffentlich anschaulichen Erklärung helfen.
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
|
| |
|
Danke ihr beiden. Habt mir echt weitergeholfen. Geiles Forum!
|
|
|
|
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf
(aber man sollte den dortigen Satz 2.11 auch beachten!)
