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Binomialkoeffizientenumformung: Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:02 Mi 14.04.2010
Autor: Olllollol

Aufgabe
[mm] \summe_{k=0}^{m}\vektor{m \\ k}^2=\vektor{2m \\ m} [/mm]

Hey Leute,
obiges muss ich zeigen, jedoch habe ich noch keinen Plan wie ich das anstellen sollte...
Wäe super, wenn mir jemand dabei helfen könnte =)
Das ganze ist ein kleines Lemma, das ich in meiner Bachelorarbeit zeigen muss.
Beste Grüße und Danke!
Oll

        
Bezug
Binomialkoeffizientenumformung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:49 Mi 14.04.2010
Autor: statler


> [mm]\summe_{k=0}^{m}\vektor{m \\ k}^2=\vektor{2m \\ m}[/mm]

Hallo!

>  obiges muss ich zeigen, jedoch habe ich noch keinen Plan
> wie ich das anstellen sollte...
>  Wäe super, wenn mir jemand dabei helfen könnte =)
>  Das ganze ist ein kleines Lemma, das ich in meiner
> Bachelorarbeit zeigen muss.

Die rechte Seite gibt mir die Anzahl der Möglichkeiten, aus 2m Dingen m auszuwählen. Jetzt teile ich diese 2m Dinge in 2 Hälften - die erste und die zweite. Wenn ich k Dinge aus der ersten H. ziehe, dann muß ich m-k aus der zweiten nehmen. Die Anzahl der Möglichkeiten dafür ist das Produkt aus beiden, also [mm] \vektor{m \\ k}*\vektor{m \\ m-k}. [/mm] Aber [mm] \vektor{m \\ k} [/mm] = [mm] \vektor{m \\ m-k}. [/mm] Und jetzt sortiere ich die Möglichkeiten danach, wie viele Dinge ich aus der 1. Hälfte genommen habe, das sind von 0 bis m. Wenn ich das addiere, kriege ich alle Möglichkeiten und die linke Seite.

Gruß aus HH-Harburg
Dieter

Bezug
        
Bezug
Binomialkoeffizientenumformung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:08 Mi 14.04.2010
Autor: M.Rex

Hallo

Ich vermute mal, dass das ganze mit einem schönen Induktionsbeweis über m auch relativ schnell erledigt ist.

Marius

Bezug
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