Binomialkoeffizient mit Faktor < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:24 Do 29.03.2012 | | Autor: | elmanuel |
| Aufgabe | | Beweise mit v.I. [mm] \summe_{i=0}^{n} j\vektor{n \\ j}=n*2^{n-1} [/mm] |
Hallo liebe Gemeinde!
Ich steck hier beim Schritt:
[mm] \summe_{i=0}^{n+1} j\vektor{n+1 \\ j}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] (n+1) + [mm] \summe_{i=0}^{n} j\vektor{n+1 \\ j}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] (n+1) + [mm] \summe_{i=0}^{n} [j\vektor{n\\ j} [/mm] + [mm] j\vektor{n\\ j-1}]
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] (n+1) + [mm] \summe_{i=0}^{n} j\vektor{n\\ j} [/mm] + [mm] \summe_{i=0}^{n} j\vektor{n\\ j-1}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] (n+1) + [mm] n2^{n-1} [/mm] + [mm] \summe_{i=0}^{n} j\vektor{n\\ j-1}
[/mm]
und jetzt komm ich nicht weiter ... wie bekomme ich aus meinen
[mm] \summe_{i=0}^{n} j\vektor{n\\ j-1}
[/mm]
die benötigten [mm] (n+1)*2^n-n*2^{n-1} [/mm] -2*n
sodass (n+1) + [mm] n2^{n-1} [/mm] + [mm] (n+1)*2^n-n*2^{n-1} [/mm] -2*n = [mm] (n+1)*2^{n}
[/mm]
*grübelgrübel*
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:07 Do 29.03.2012 | | Autor: | dennis2 |
>[mm]\summe_{i=0}^{n} j\vektor{n \\ j}=n*2^{n-1}[/mm]
moin die indizierung finde ich komisch.
du meinst bestimmt
[mm] $\summe_{i=0}^{n} i\vektor{n \\ i}=n*2^{n-1}$
[/mm]
den binomialkoeffizienten macht man in latex übrigens mit
\binom{n}{i}
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:37 Do 29.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Beweise mit v.I. [mm]\summe_{i=0}^{n} j\vektor{n \\ j}=n*2^{n-1}[/mm]
>
> Hallo liebe Gemeinde!
>
> Ich steck hier beim Schritt:
>
> [mm]\summe_{i=0}^{n+1} j\vektor{n+1 \\ j}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] (n+1) + [mm]\summe_{i=0}^{n} j\vektor{n+1 \\ j}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] (n+1) + [mm]\summe_{i=0}^{n} [j\vektor{n\\ j}[/mm] +
> [mm]j\vektor{n\\ j-1}][/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] (n+1) + [mm]\summe_{i=0}^{n} j\vektor{n\\ j}[/mm] +
> [mm]\summe_{i=0}^{n} j\vektor{n\\ j-1}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] (n+1) + [mm]n2^{n-1}[/mm] + [mm]\summe_{i=0}^{n} j\vektor{n\\ j-1}[/mm]
>
> und jetzt komm ich nicht weiter ... wie bekomme ich aus
> meinen
>
> [mm]\summe_{i=0}^{n} j\vektor{n\\ j-1}[/mm]
>
> die benötigten [mm](n+1)*2^n-n*2^{n-1}[/mm] -2*n
>
> sodass (n+1) + [mm]n2^{n-1}[/mm] + [mm](n+1)*2^n-n*2^{n-1}[/mm] -2*n =
> [mm](n+1)*2^{n}[/mm]
>
> *grübelgrübel*
neben der Bemerkung über den Index:
Da gehören keine Äquivalenzzeichen hin. SONDERN: ???
Außerdem mach' Dir mal klar, dass bei Dir in der Rechnung manchmal bei der Summe der Binomialkoeffizient ${n [mm] \choose [/mm] -1}$ auftaucht. Korrigiere das bitte!
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Nun zur eigentlichen Frage:
Ob's zielführend ist, weiß ich nicht, aber Du kannst doch schreiben (das kann nur funktionieren, sofern bisher auch alles richtig gerechnet wurde):
[mm] $$\sum_{j=1}^n [/mm] j {n [mm] \choose j-1}=\sum_{j=0}^{n-1} [/mm] (j+1) {n [mm] \choose j}=\sum_{j=0}^{n-1} [/mm] j {n [mm] \choose j}+\sum_{j=0}^{n-1} [/mm] {n [mm] \choose j}\,.$$
[/mm]
Nun ist
[mm] $$\left(\sum_{j=0}^{n-1} j {n \choose j}\right)+n=\sum_{j=0}^{n} [/mm] j {n [mm] \choose j}\,,$$ [/mm]
also kannst Du darauf wieder die I.V. anwenden:
[mm] $$\sum_{j=0}^{n-1} [/mm] j {n [mm] \choose j}=n*2^{n-1}-n\,.$$
[/mm]
Analog ist
[mm] $$\left(\sum_{j=0}^{n-1} {n \choose j}\right)+1=\sum_{j=0}^{n} [/mm] {n [mm] \choose j}\,,$$ [/mm]
und dafür gibt's eine bekannte Formel (leitet sich her mit [mm] $2^n=(1+1)^n=...$).
[/mm]
P.S.
Ich hab's mit den obigen Korrekturen zu Ende gerechnet: Man erhält mit den Tipps das gewünschte Ergebnis!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:12 Do 29.03.2012 | | Autor: | elmanuel |
danke! super jetzt hab ichs
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