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Binomialkoeffizient Beweis: komme nicht weiter
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 13:02 Mo 06.12.2010
Autor: Splish

Aufgabe
Gegeben sei [mm] x\in\IR. [/mm] Beweisen Sie, dass für alle [mm] n\in\IN [/mm] gilt:
[mm] (1+x)^n=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^k [/mm]


Hallo,
ich habe ein Problem mit dem ausstehenden Beweis wobei ich an einem bestimmten Punkt nicht weiter komme.
Über Induktion bin ich bei n+1 zu einer Stelle gekommen, wo ich die 2 Binomialkoeffizienten wieder zusammenbringen möchte:
[mm] x^n+1+\summe_{k=1}^{n}( {n \choose k-1}*x^{k-1}+{n \choose k}*x^{k+1}) [/mm]
ich wollte mir die Tatsache zu nutze machen, dass
[mm] {n \choose k} + {n \choose k+1} = {n+1 \choose k+1} [/mm]
habe aber nun mit dem [mm] x^{k-1} [/mm] und [mm] x^{k+1} [/mm] ein Problem^^.

Bin über jeden Hinweis dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

LG Splish

        
Bezug
Binomialkoeffizient Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:16 Mo 06.12.2010
Autor: M.Rex

Hallo und [willkommenmr]

> Gegeben sei [mm]x\in\IR.[/mm] Beweisen Sie, dass für alle n/in/IN
> gilt:
>  [mm](1+x)^n=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^k[/mm]

Habt ihr den binomischen Lehrsatz schon bewiesen oder dürft ihn zumindest nutzen?

Weil deine Aussage ist ein Spezialfall dieses Satzes, mit a=1 und b=x.

Eine Beweisidee dazu findest du []hier.


>  Hallo,
>  ich habe ein Problem mit dem ausstehenden Beweis wobei ich
> an einem bestimmten Punkt nicht weiter komme.
> Über Induktion bin ich bei n+1 zu einer Stelle gekommen,
> wo ich die 2 Binomialkoeffizienten wieder zusammenbringen
> möchte:
>  [mm]x^n+1+\summe_{k=1}^{n}( {n \choose k-1}*x^{k-1}+{n \choose k}*x^{k+1})[/mm]
>  

Wie kommst du auf diese Formel?

Der Trick ist, wie folgt anzufangen:

[mm] (1+x)^{n+1}=(1+x)(1+x)^{n}=(1+x)\left(\sum_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}x^{k}\right)=\ldots [/mm]

> ich wollte mir die Tatsache zu nutze machen, dass
> [mm]{n \choose k} + {n \choose k+1} = {n+1 \choose k+1}[/mm]
>  habe
> aber nun mit dem [mm]x^{k-1}[/mm] und [mm]x^{k+1}[/mm] ein Problem^^.
>  
> Bin über jeden Hinweis dankbar.
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
>  
> LG Splish

Marius


Bezug
                
Bezug
Binomialkoeffizient Beweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:07 Mo 06.12.2010
Autor: Splish

Hallo Marius und vielen dank für die schnelle Antwort und die nette Begrüßung,
genau diesen Ansatz habe ich verfolgt:

[mm] (1+x)*\summe_{k=0}^{n}({n \choose k}*x^k)=\summe_{k=0}^{n}({n \choose k}*x^k) + \summe_{k=0}^{n}({n \choose k}*x^{k+1})[/mm]
durch eine Indexverschiebung des ersten Summanden komme ich auf:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}({n \choose k-1}*x^{k-1})+\summe_{k=0}^{n}({n \choose k}*x^{k+1})=\summe_{k=1}^{n}({n \choose k-1}*x^{k-1})+x^{n+1-1}+\summe_{k=1}^{n}({n \choose k}*x^{k+1})+x = x^n+x+\summe_{k=1}^{n}({n \choose k-1}*x^{k-1})+\summe_{k=1}^{n}({n \choose k}*x^{k+1}) [/mm]

Die beiden Summen zusammen ergeben dann meine Formel.

[mm]= x^n+n+\summe_{k=1}^{n}({n \choose k-1}*x^{k-1}+{n \choose k}*x^{k+1} [/mm]
Den Beweis für [mm] {n \choose k}+{n \choose k+1} ={n+1 \choose k+1} [/mm] habe ich schon geführt und darf es somit auch benutzen.

LG Lars


Bezug
                        
Bezug
Binomialkoeffizient Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:25 Mo 06.12.2010
Autor: statler

Hi!

> [mm] (1+x)*\summe_{k=0}^{n}({n \choose k}*x^k)=\summe_{k=0}^{n}({n \choose k}*x^k) + \summe_{k=0}^{n}({n \choose k}*x^{k+1})[/mm]
>  
> durch eine Indexverschiebung des ersten Summanden komme ich
> auf:
>  [mm] \summe_{k=1}^{n+1}({n \choose k-1}*x^{k-1})+\summe_{k=0}^{n}({n \choose k}*x^{k+1})=\summe_{k=1}^{n}({n \choose k-1}*x^{k-1})+x^{n+1-1}+\summe_{k=1}^{n}({n \choose k}*x^{k+1})+x = x^n+x+\summe_{k=1}^{n}({n \choose k-1}*x^{k-1})+\summe_{k=1}^{n}({n \choose k}*x^{k+1})[/mm]
>  
> Die beiden Summen zusammen ergeben dann meine Formel.
>  
> [mm]= x^n+n+\summe_{k=1}^{n}({n \choose k-1}*x^{k-1}+{n \choose k}*x^{k+1} [/mm]

Das kann ich so überhaupt nicht nachvollziehen, du addierst hier doch Äpfel und Birnen, also verschiedene Potenzen von x. Vielleicht solltest du mit deiner Indexverschiebung mal bei der 2. Summe ansetzen.

> Den Beweis für [mm]{n \choose k}+{n \choose k+1} ={n+1 \choose k+1}[/mm]
> habe ich schon geführt und darf es somit auch benutzen.

Gruß aus HH-Harburg
Dieter

Bezug
                                
Bezug
Binomialkoeffizient Beweis: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 14:34 Mo 06.12.2010
Autor: Splish

Hallo Dieter,
den Ansatz über die Indexverschiebung probiere ich gleich mal aus, auf den ersten Blick siehts logisch aus, dass sich dann [mm] x^{k-1} [/mm] und [mm] x^{k+1} [/mm] durch die Korrektur verschieben müssten.
Aber wo liegt jetzt, abgesehen davon dass ich nicht zur Lösung komme, bei meinem bisherige Weg ein mathematischer Fehler? Ich habe doch nur die beiden Summen zusammengefasst, die ja die gleichen Schranken haben.

Ich meld mich dann gleich nochmal wegen dem anderen Lösungsweg.

Danke und Gruß
Lars

Bezug
                                
Bezug
Binomialkoeffizient Beweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:08 Mo 06.12.2010
Autor: Splish

So, nach kurzer Pause und nen bissl Rechnen bin ich nun so weit:
[mm] =\sum_{k=0}^n{n \choose k} x^k +\sum_{k=0}^n{n \choose k} x^{k+1}=\sum_{k=0}^n{n \choose k} x^k + \sum_{k=1}^{n+1}{n \choose k-1} x^{k}=\sum_{k=1}^n{n \choose k} x^k+1+\sum_{k=1}^n{n \choose k-1} x^k+x^{n+1}=x^{n+1}+1+\sum_{k=1}^n({n \choose k} x^k + {n \choose k-1} x^k) =x^{n+1}+1+ \sum_{k=1}^n({n+1 \choose k} x^k) = x^{n+1}+\sum_{k=0}^n({n+1 \choose k} x^k ) [/mm]
Wie nun aber weiter? ich muss doch auf [mm] \sum_{k=0}^{n+1}({n+1 \choose k} x^k) [/mm] kommen oder?

LG Lars

Bezug
                                        
Bezug
Binomialkoeffizient Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:14 Mo 06.12.2010
Autor: statler

Hi!

> So, nach kurzer Pause und nen bissl Rechnen bin ich nun so
> weit:
>  [mm] =\sum_{k=0}^n{n \choose k} x^k +\sum_{k=0}^n{n \choose k} x^{k+1}=\sum_{k=0}^n{n \choose k} x^k + \sum_{k=1}^{n+1}{n \choose k-1} x^{k}=\sum_{k=1}^n{n \choose k} x^k+1+\sum_{k=1}^n{n \choose k-1} x^k+x^{n+1}=x^{n+1}+1+\sum_{k=1}^n({n \choose k} x^k + {n \choose k-1} x^k) =x^{n+1}+1+ \sum_{k=1}^n({n+1 \choose k} x^k) = x^{n+1}+\sum_{k=0}^n({n+1 \choose k} x^k ) [/mm]
>  
> Wie nun aber weiter? ich muss doch auf
> [mm]\sum_{k=0}^{n+1}({n+1 \choose k} x^k) [/mm] kommen oder?

Jetzt guck mal genau hin: Da bist du doch!

Gruß aus HH-Harburg
Dieter

Bezug
                                                
Bezug
Binomialkoeffizient Beweis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:47 Mo 06.12.2010
Autor: Splish

Arg, da hab ich wohl eine ganze Tomatenplantage auf den Augen gehabt Oo.
Ich habs... vielen dank :).

Gruß Lars

Bezug
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