Binomialkoeffizient < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:43 Mo 18.11.2013 | | Autor: | Petrit |
| Aufgabe 1 | Zu zeigen ist: [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] + [mm] \pmat{ n \\ k+1 } [/mm] = [mm] \pmat{ n+1 \\ k+1 } [/mm] für n,k [mm] \in \IN_{0} [/mm] und k<n.
Daraus ist außerdem zu folgern, dass [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] immer eine natürliche Zahl ist. |
| Aufgabe 2 | | [mm] (a+b)^{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} *a^{k}* b^{n-k} [/mm] für a,b [mm] \in \IR [/mm] und n [mm] \in \IN. [/mm] |
Hallo erstmal.
Und zwar komme ich nicht weiter. Ich weiß, dass sich [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] auch als [mm] \bruch{n!}{k!*(n-k)!} [/mm] schreiben lässt und so habe ich auch dann die Formel ausgeschrieben und habe nun [mm] \bruch{(n!*(k+1)!*((n+1)-(k+1))!) + (n!*(k!*(n-k)!)}{((k!*(n-k)!)*((k+1)!*((n+1)-(k+1))!)}. [/mm] Und jetzt komme ich nicht mehr weiter. Auf der rechten Seite der Gleichung steht [mm] \bruch{(n+1)!}{(k+1)!*((n+1)-(k+1))!}. [/mm] Wie kann ich die linke Seite so zusammenfassen, dass da das gleiche steht, wie auf er rechten Seite? Oder bin ich ganz und gar auf dem Holzweg?
Zu Aufgabe 2. Wie kann ich das zeigen? Wie ist mein Ansatz? Mir fällt leider nichts ein.
Ich hoffe, mir kann weitergeholfen werden.
Ich habe diese Frage nur hier im Forum gestellt.
Viele Grüße, Petrit!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:17 Mo 18.11.2013 | | Autor: | Fry |
Huhu,
Nr.2 kannst du mit vollständiger Induktion nach [mm] $n\in\mathbb [/mm] N$ beweisen.
Am besten schreibst du dafür mal [mm] \sum_{k=0}^{n+1}\vektor{n+1 \\ k} a^k b^{n+1-k} [/mm] mithilfe der Formel aus (1) um.
LG
Christian
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Hallo Petrit!
Ich glaube, Du bist etwas zu kompliziert vorgegangen.
Aber auf jeden Fall stimmt es, den Binomialkoeffizienten per Definition umzuschreiben und auf einem Bruch zusammenzufassen:
[mm] $\vektor{n\\k}+\vektor{n\\k+1}$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{n!}{k!*(n-k)!}+\bruch{n!}{(k+1)!*(n-k-1)!}$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{n!*\blue{(k+1)}}{k!*\blue{(k+1)}*(n-k)!}+\bruch{n!*\red{(n-k)}}{(k+1)!*(n-k-1)!*\red{(n-k)}}$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{n!*(k+1)}{\blue{(k+1)!}*(n-k)!}+\bruch{n!*(n-k)}{(k+1)!*\red{(n-k)!}}$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{n!*(k+1)+n!*(n-k)}{(k+1)!*(n-k)!}$
[/mm]
Jetzt noch im Zähler $n!_$ ausklammern und zusammenfassen, und Du bist fertig.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:59 Mo 18.11.2013 | | Autor: | Petrit |
Erstmal super, danke. Hab mal wieder zu umständlich gedacht.
Jetzt hätte ich noch eine Frage zu der 1. Aufgabe. Und zwar: Wie kann man aus dieser Gleichung zeigen, dass der Binomialkoeffizient [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] immer natürlich ist?
Schon mal danke im Voraus!
Gruß, Petrit!
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Hallo Petrit,
> Erstmal super, danke. Hab mal wieder zu umständlich
> gedacht.
> Jetzt hätte ich noch eine Frage zu der 1. Aufgabe. Und
> zwar: Wie kann man aus dieser Gleichung zeigen, dass der
> Binomialkoeffizient [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] immer natürlich ist?
1. Tipp: Pascalsches Dreieck; jede Zahl ist die Summe der beiden über ihr stehenden.
2. Tipp: für k<0 und k>n ist [mm] \vektor{n\\k}=0.
[/mm]
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:35 Mo 18.11.2013 | | Autor: | Petrit |
Danke für die schnelle Hilfe!
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