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| Aufgabe | Beim Fußballtunier gibt es mehrere Mannschaften. Jede Mannschaft soll gegen jede spielen.
a) wie viele Spiele gibt es, wenn insgesamt 3,4,6 Mannschaften spielen? Gib eine begründete Lösung mit Hilfe von Binomialkoeffizienten an und für den Fall 4 eine konkretete Lösung durch Auflisten aller Fälle.
b) Gib eine allgemeine Lösung für n Mannschaften an.
c) Gib mit elementaren Mitteln (Ohne explizite Verwendung des Binomialkoeffizienten) eine Lösung an für b)
b) |
a) Für den Fall 3 Mannschaften: immer 2 Mannschaften spielen gegeneinander, also [mm] \vektor{3 \\ 2}= [/mm] 3
(1,2),(1,3),(2,3)
4 Mannschaften: n=4, k=2
[mm] \vektor{4 \\ 2}=6
[/mm]
(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)
6 Mannschaften: n=6, k=2
[mm] \vektor{6 \\ 2}=15
[/mm]
Begründung: Es wird angegeben auf wie viele verschiedene Arten 3,4,6 Mannschaften spielen können, wobei immer 2 Mannschaften gegeneinander spielen. Die Reihenfolge ist hier egal, also (1,2) ist identsich zu (2,1)
b) Für n Mannschaften gilt dann [mm] \vektor{n \\ 2} [/mm] Aber wie soll man das begründen? Ist doch eigentlich die gleiche Begründung wie in a)
c) Hier weiß ich nicht weiter. Wie soll ich die Möglichkeiten zeigen, wie n Mannschaften gegeneinander spielen können ohne Binomilakoeffizienten?
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:52 So 18.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Beim Fußballtunier gibt es mehrere Mannschaften. Jede
> Mannschaft soll gegen jede spielen.
>
> a) wie viele Spiele gibt es, wenn insgesamt 3,4,6
> Mannschaften spielen? Gib eine begründete Lösung mit
> Hilfe von Binomialkoeffizienten an und für den Fall 4 eine
> konkretete Lösung durch Auflisten aller Fälle.
>
> b) Gib eine allgemeine Lösung für n Mannschaften an.
>
> c) Gib mit elementaren Mitteln (Ohne explizite Verwendung
> des Binomialkoeffizienten) eine Lösung an für b)
> b)
> a) Für den Fall 3 Mannschaften: immer 2 Mannschaften
> spielen gegeneinander, also [mm]\vektor{3 \\ 2}=[/mm] 3
>
> (1,2),(1,3),(2,3)
>
> 4 Mannschaften: n=4, k=2
> [mm]\vektor{4 \\ 2}=6[/mm]
>
> (1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)
>
> 6 Mannschaften: n=6, k=2
> [mm]\vektor{6 \\ 2}=15[/mm]
>
> Begründung: Es wird angegeben auf wie viele verschiedene
> Arten 3,4,6 Mannschaften spielen können, wobei immer 2
> Mannschaften gegeneinander spielen. Die Reihenfolge ist
> hier egal, also (1,2) ist identsich zu (2,1)
>
> b) Für n Mannschaften gilt dann [mm]\vektor{n \\ 2}[/mm] Aber wie
> soll man das begründen? Ist doch eigentlich die gleiche
> Begründung wie in a)
>
> c) Hier weiß ich nicht weiter. Wie soll ich die
> Möglichkeiten zeigen, wie n Mannschaften gegeneinander
> spielen können ohne Binomilakoeffizienten?
Fangen wir mit Mannschaft 1 an:
(1,2), (1,3), ...,(1,n). Das sind schon mal n-1 Spiele.
Manschaft 2: das Spie gegen 1 ist oben schon erfasst, also bleiben:
(2,3), ...., (2,n). Wir haben weitere n-2 Spiele.
......
......
Mannschaft n-1 hat jetzt nur noch 1 Spiel:
(n-1,n)
Fazit: Anzahl der Spiele: (n-1)+(n-2)+...+2+1= [mm] \bruch{(n-1)*n}{2}
[/mm]
FRED
>
>
> MfG
> Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:06 So 18.11.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Mathegirl,
> Beim Fußballtunier gibt es mehrere Mannschaften. Jede
> Mannschaft soll gegen jede spielen.
>
> a) wie viele Spiele gibt es, wenn insgesamt 3,4,6
> Mannschaften spielen? Gib eine begründete Lösung mit
> Hilfe von Binomialkoeffizienten an und für den Fall 4 eine
> konkretete Lösung durch Auflisten aller Fälle.
>
> b) Gib eine allgemeine Lösung für n Mannschaften an.
>
> c) Gib mit elementaren Mitteln (Ohne explizite Verwendung
> des Binomialkoeffizienten) eine Lösung an für b)
> b)
> a) Für den Fall 3 Mannschaften: immer 2 Mannschaften
> spielen gegeneinander, also [mm]\vektor{3 \\ 2}=[/mm] 3
>
> (1,2),(1,3),(2,3)
>
> 4 Mannschaften: n=4, k=2
> [mm]\vektor{4 \\ 2}=6[/mm]
>
> (1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)
>
> 6 Mannschaften: n=6, k=2
> [mm]\vektor{6 \\ 2}=15[/mm]
>
> Begründung: Es wird angegeben auf wie viele verschiedene
> Arten 3,4,6 Mannschaften spielen können, wobei immer 2
> Mannschaften gegeneinander spielen. Die Reihenfolge ist
> hier egal, also (1,2) ist identsich zu (2,1)
Richtig!
>
> b) Für n Mannschaften gilt dann [mm]\vektor{n \\ 2}[/mm] Aber wie
> soll man das begründen? Ist doch eigentlich die gleiche
> Begründung wie in a)
Genau!
> c) Hier weiß ich nicht weiter. Wie soll ich die
> Möglichkeiten zeigen, wie n Mannschaften gegeneinander
> spielen können ohne Binomilakoeffizienten?
Betrachte das kartesische Produkt [mm] $\{1, 2, ... n\}\times \{1, 2, ... n\}\,.$ [/mm] Die Zahl der Paare ist dann [mm] $n^2$. [/mm] Ziehe die Diagonale ab, da die Mannschaften nicht gegen sich selbst spielen, gibt [mm] $n^2-n$. [/mm] Für jedes Spiel haben wir zwei Paare, nämlich (i, k) und (k, i).
Damit ist Zahl der Spiele [mm] $\frac {n^2-n} 2\,.$
[/mm]
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:08 So 18.11.2012 | | Autor: | Mathegirl |
Danke für eure Erklärungen! Jetzt wo ich es sehe ist es eigentlich logisch, ich bin selbst aber nicht darauf gekommen.
MfG
Mathegirl
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