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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:29 Sa 03.12.2011 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Vervollständige
[mm] \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] \vektor{n-1 \\ k-1} [/mm] + .... |
[mm] \vektor{n \\ k} [/mm] - [mm] \vektor{n-1 \\ k-1}
[/mm]
= [mm] \frac{n*(n-1)....(n-k+1)}{1*2...*k} [/mm] - [mm] \frac{(n-1)*(n-2) .. * ((n-1)-(k-1)+1)}{1*2..*(k-1)}
[/mm]
[mm] =\frac{n*(n-1)....(n-k+1)}{1*2...*k} [/mm] - [mm] \frac{(n-1)*(n-2) .. * (n-k+1)}{1*2..*(k-1)}
[/mm]
Gleichne nenner
= [mm] \frac{n*(n-1)....(n-k+1)}{1*2...*k} [/mm] - [mm] \frac{((n-1)*(n-2) .. * (n-k+1) )*k }{1*2..*k}
[/mm]
= [mm] \frac{((n-1)*(n-2) .. * (n-k+1)) *(k-1)}{1*2..*(1-k)}
[/mm]
WIe tuhe ich weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:04 So 04.12.2011 | | Autor: | skoopa |
Guten Abend Lu-!
> Vervollständige
> [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] = [mm]\vektor{n-1 \\ k-1}[/mm] + ....
>
> [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] - [mm]\vektor{n-1 \\ k-1}[/mm]
> =
> [mm]\frac{n*(n-1)....(n-k+1)}{1*2...*k}[/mm] - [mm]\frac{(n-1)*(n-2) .. * ((n-1)-(k-1)+1)}{1*2..*(k-1)}[/mm]
>
> [mm]=\frac{n*(n-1)....(n-k+1)}{1*2...*k}[/mm] - [mm]\frac{(n-1)*(n-2) .. * (n-k+1)}{1*2..*(k-1)}[/mm]
>
> Gleichne nenner
> = [mm]\frac{n*(n-1)....(n-k+1)}{1*2...*k}[/mm] - [mm]\frac{((n-1)*(n-2) .. * (n-k+1) )*k }{1*2..*k}[/mm]
>
> = [mm]\frac{((n-1)*(n-2) .. * (n-k+1)) *(k-1)}{1*2..*(1-k)}[/mm]
>
> WIe tuhe ich weiter?
Also meiner Ansicht nach stimmt bei deiner letzten Umformung etwas nicht... Oder ich seh irgendwie nicht, was du gemacht hast. Bis dahin war aber alles in Ordnung.
Wenn du alles etwas kompakter schreibst, also in der Fakultätsschreibweise, dann hast du einen besseren Überblick für das was zu tun ist und wo du hin willst.
Versuch es mal. Soweit, wie du bisher bist sieht das Ganze dann so aus:
[mm] \vektor{n \\ k}-\vektor{n-1 \\ k-1}=\bruch{n!}{k!\cdot(n-k)!}-\bruch{(n-1)!}{(k-1)!\cdot((n-1)-(k-1))!}=\bruch{n!}{k!\cdot(n-k)!}-\bruch{(n-1)!}{(k-1)!\cdot(n-k)!}
[/mm]
[mm] =\bruch{n!}{k!\cdot(n-k)!}-\bruch{(n-1)!\cdot k}{k!\cdot(n-k)!}
[/mm]
Und jetzt steht dein Ergebnis quasi schon da.
Hoffe das klappt so
Beste Grüße!
skoopa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:46 So 04.12.2011 | | Autor: | Lu- |
Hallo,
In meiner letzten Umformung war ein Fehler:
$ [mm] \frac{((n-1)\cdot{}(n-2) .. \cdot{} (n-k+1)) \cdot{}(1-k)}{1\cdot{}2..\cdot{}(k)} [/mm] $
Ich hebe hier den Term [mm] ((n-1)\cdot{}(n-2) [/mm] .. [mm] \cdot{} [/mm] (n-k+1)) heraus, da er ja in beiden vorkommt.
Kann man da jetzt vielleicht auf die Lösung drauf kommen?
->
$ [mm] =\bruch{n!}{k!\cdot(n-k)!}-\bruch{(n-1)!\cdot k}{k!\cdot(n-k)!} [/mm] $ = [mm] \frac{n!*k}{k!*(n-k)!} [/mm] = [mm] \frac{n!}{(k-1)!*(n-k)!}
[/mm]
Ich bin mir da nicht so sicher, in der schreibweise bin ich nicht wirklich geübt, deshalb hab ich die andere vorgezogen!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:01 So 04.12.2011 | | Autor: | skoopa |
> Hallo,
> In meiner letzten Umformung war ein Fehler:
> [mm]\frac{((n-1)\cdot{}(n-2) .. \cdot{} (n-k+1)) \cdot{}(1-k)}{1\cdot{}2..\cdot{}(k)}[/mm]
>
> Ich hebe hier den Term [mm]((n-1)\cdot{}(n-2)[/mm] .. [mm]\cdot{}[/mm]
> (n-k+1)) heraus, da er ja in beiden vorkommt.
> Kann man da jetzt vielleicht auf die Lösung drauf kommen?
Achja jetzt seh ichs. Du kannst auch von hier weitermachen.
Allerdings ist dann noch ein kleiner Fehler drin. Wenn du nämlich den besagten Term ausklammerst, dann bleibt der Faktor $(n-k)$ übrig nicht $(1-k)$.
Also bist du insgesamt bei:
$ [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] $ - $ [mm] \vektor{n-1 \\ k-1} [/mm] = [mm] \frac{((n-1)\cdot{}(n-2) .. \cdot{} (n-k+1)) \cdot{}(n-k)}{1\cdot{}2..\cdot{}k} [/mm] $
$= [mm] \frac{(n-1)!\cdot(n-k)}{(n-k)!\cdot{}k!} [/mm] $
In kurzer Schreibweise.
Versuche nun diesen Bruch weiter zu vereinfachen.
Tipp: versuche wieder einen Binomialkoeffizienten zu erreichen.
>
> ->
> [mm]=\bruch{n!}{k!\cdot(n-k)!}-\bruch{(n-1)!\cdot k}{k!\cdot(n-k)!}[/mm]
> = [mm]\frac{n!*k}{k!*(n-k)!}[/mm] = [mm]\frac{n!}{(k-1)!*(n-k)!}[/mm]
> Ich bin mir da nicht so sicher, in der schreibweise bin
> ich nicht wirklich geübt, deshalb hab ich die andere
> vorgezogen!
Nein, so stimmt das leider nicht. Die richtige Umformung steht oben.
Wenn du mit der anderen Schreibweise besser zurecht kommst, kannst du natürlich auch alles ausschreiben. Mit der kurzen Schreibweise sparst du halt Tinte, Schreibarbeit und Leichtsinnsfehler (also ich zumindest). Außerdem ist die kurze Schreibweise gebräuchlicher. Du solltest also versuchen mit ihr umzugehen.
Grüße!
skoopa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:13 So 04.12.2011 | | Autor: | Lu- |
Hallo, noch eine Frage!
Ups, ja der fehler ist mir jetzt auch aufgefallen.
Naja für die Prüfung verwende ich diese Schreibweise - wäre mir jetzt zu knapp die andere ausführlich zu lernen. Jetzt muss mal diese reichen ;)
[mm] \frac{((n-1)\cdot{}(n-2) .. \cdot{} (n-k+1)) \cdot{}(n-k)}{1\cdot{}2..\cdot{}k} [/mm]
> $ = [mm] \frac{(n-1)!\cdot(n-k)}{(n-k)!\cdot{}k!} [/mm] $
Wie kommst du auf den Nenner? In den Nenner müsste doch nur wie oben k! stehen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:23 So 04.12.2011 | | Autor: | skoopa |
> Hallo, noch eine Frage!
Immer her damit
>
> Ups, ja der fehler ist mir jetzt auch aufgefallen.
> Naja für die Prüfung verwende ich diese Schreibweise -
> wäre mir jetzt zu knapp die andere ausführlich zu lernen.
> Jetzt muss mal diese reichen ;)
>
> [mm]\frac{((n-1)\cdot{}(n-2) .. \cdot{} (n-k+1)) \cdot{}(n-k)}{1\cdot{}2..\cdot{}k}[/mm]
>
> > [mm]= \frac{(n-1)!\cdot(n-k)}{(n-k)!\cdot{}k!}[/mm]
> Wie kommst du
> auf den Nenner? In den Nenner müsste doch nur wie oben k!
> stehen
Hier steht im Zähler (nur der für die Umformung wichtige Teil) zuerst [mm] $(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)$. [/mm] Dann erweiterst du mit [mm] $(n-k)(n-k-1)\cdots 2\cdot [/mm] 1$.
Dies führt dich dann zu:
[mm] (n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)=\bruch{(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)\cdot(n-k)(n-k-1)\cdots 2\cdot 1}{(n-k)(n-k-1)\cdots 2\cdot 1}
[/mm]
Jetzt steht im Zähler also $(n-1)!$ und im Zähler steht $(n-k)!$. Also hast du genau die Identität, die du für die obige Umformung brauchst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:09 So 04.12.2011 | | Autor: | Lu- |
Hallo ;)
Gut- den Schritt hab ich jetzt verstanden.
> $ = [mm] \frac{(n-1)!\cdot(n-k)}{(n-k)!\cdot{}k!} [/mm] $
> Jetzt steht im Zähler also $ (n-1)! $ und im Zähler steht $ (n-k)! $. Also hast du genau die Identität, die du für die obige Umformung brauchst.
Ich denke mal du meinst im Nenner steht (n-k)!
Kann man da jetzt irgendwie kürzen?.?
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Hallo Lu-,
> Hallo ;)
> Gut- den Schritt hab ich jetzt verstanden.
>
> > [mm]= \frac{(n-1)!\cdot(n-k)}{(n-k)!\cdot{}k!}[/mm]
>
> > Jetzt steht im Zähler also [mm](n-1)![/mm] und im Zähler steht
> [mm](n-k)! [/mm]. Also hast du genau die Identität, die du für die
> obige Umformung brauchst.
> Ich denke mal du meinst im Nenner steht (n-k)!
>
Das steht doch auch in obiger Formel so.
> Kann man da jetzt irgendwie kürzen?.?
Überlege Dir, wie [mm]\bruch{\left(n-k\right)!}{n-k}[/mm] noch geschrieben werden kann.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:41 So 04.12.2011 | | Autor: | Lu- |
Hallöchen!
> Überlege Dir, wie $ [mm] \bruch{\left(n-k\right)!}{n-k} [/mm] $ noch geschrieben werden kann.
Das steht doch hier gar nicht da. Ich denke das (n-k) könnte man kürzen mit den Faktorielle. (n-k-1)!
$ = [mm] \frac{(n-1)!\cdot(n-k)}{(n-k)!\cdot{}k!} [/mm] $
$ = [mm] \frac{(n-1)!}{(n-k-1)!\cdot{}k!} [/mm] $
$ = [mm] \frac{(n-1)!}{(n-1-k)!\cdot{}k!} [/mm] $
Also haben wir:
[mm] \vektor{n-1\\ k}
[/mm]
Ich hoffe das stimmt ;)
LG
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Hallo Lu-,
> Hallöchen!
>
> > Überlege Dir, wie [mm]\bruch{\left(n-k\right)!}{n-k}[/mm] noch
> geschrieben werden kann.
> Das steht doch hier gar nicht da. Ich denke das (n-k)
> könnte man kürzen mit den Faktorielle. (n-k-1)!
>
> [mm]= \frac{(n-1)!\cdot(n-k)}{(n-k)!\cdot{}k!}[/mm]
>
> [mm]= \frac{(n-1)!}{(n-k-1)!\cdot{}k!}[/mm]
>
> [mm]= \frac{(n-1)!}{(n-1-k)!\cdot{}k!}[/mm]
> Also haben wir:
> [mm]\vektor{n-1\\ k}[/mm]
>
> Ich hoffe das stimmt ;)
Ja, das stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> LG
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:51 So 04.12.2011 | | Autor: | Lu- |
Vielen Dank an skoopa und MathePower
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