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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:50 Do 10.11.2011 | | Autor: | hubbel |
| Aufgabe | Es sei [mm] n\in\IN. [/mm] Zeigen Sie, dass für den Binomialkkoeffizienten [mm]{n \choose k}[/mm] gilt:
[mm]{n \choose 0}[/mm]<[mm]{n \choose 1}[/mm]<...<[mm]{n \choose k}[/mm]<[mm]{n \choose |n/2|}[/mm]=[mm]{n \choose |n/2|}[/mm]>...>[mm]{n \choose n-1}[/mm]>[mm]{n \choose n}[/mm]. |
Also die erste Klammer mit n/2, da soll n/2 abgerundet werden, habe diese Klammern, die oben offen sind nicht gefunden und bei dem n/2 soll aufgerundet werden.
Meine Frage ist nun, was genau kommt bei den beiden "..." rein. Habe vor das ganze durch Induktion zu beweisen. Deswegen wärs wichtig zu wissen, was dahin kommt.
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Hallo hubbel,
ist das ne ernstgemeinte Frage?
> Es sei [mm]n\in\IN.[/mm] Zeigen Sie, dass für den
> Binomialkkoeffizienten [mm]{n \choose k}[/mm] gilt:
>
> [mm]{n \choose 0}[/mm]<[mm]{n \choose 1}[/mm]<...<[mm]{n \choose k}[/mm]<[mm]{n \choose |n/2|}[/mm]=[mm]{n \choose |n/2|}[/mm]>...>[mm]{n \choose n-1}[/mm]>[mm]{n \choose n}[/mm].
>
> Also die erste Klammer mit n/2, da soll n/2 abgerundet
> werden, habe diese Klammern, die oben offen sind nicht
> gefunden und bei dem n/2 soll aufgerundet werden.
>
> Meine Frage ist nun, was genau kommt bei den beiden "..."
> rein. Habe vor das ganze durch Induktion zu beweisen.
> Deswegen wärs wichtig zu wissen, was dahin kommt.
Na, die fehlenden natürlichen Zahlen zwischen der letztgenannten 1 und dem Wert [mm] \lfloor{n/2}\rfloor.
[/mm]
Man kanns auch anders formulieren: für [mm] j,k,n\in\IN_0, j,k\le\lfloor{n/2}\rfloor [/mm] gilt:
j<k\ [mm] \gdw\ \vektor{n\\j}<\vektor{n\\k}
[/mm]
Oder ganz umgangssprachlich: im Pascalschen Dreieck werden die Binomialkoeffizienten, von links an gelesen, bis zur Mitte der Zeile immer größer und danach wieder immer kleiner.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 Do 10.11.2011 | | Autor: | hubbel |
Ich nehme jetzt mal z.B. n=4.
[mm]{4 \choose 0}[/mm]<[mm]{4 \choose 1}[/mm]<[mm]{4 \choose |4/2|}[/mm]=[mm]{4 \choose |4/2|}[/mm]>[mm]{4 \choose 4-1}[/mm]>[mm]{4 \choose 4}[/mm].
Stimmt das?
Wenn nicht, könntest du es mir kurz korrigieren, blick da nicht ganz durch sonst.
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Hallo hubbel,
> Ich nehme jetzt mal z.B. n=4.
>
> [mm]{4 \choose 0}[/mm]<[mm]{4 \choose 1}[/mm]<[mm]{4 \choose |4/2|}[/mm]=[mm]{4 \choose |4/2|}[/mm]>[mm]{4 \choose 4-1}[/mm]>[mm]{4 \choose 4}[/mm].
>
> Stimmt das?
Ja.
Nun schreib dir für den allgemeinen Fall mal zwei solche in der (Un-)gleichungskette benachbarten Binomialkoeffizienten hin und vergleiche sie.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:23 Do 10.11.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
Induktion kannst Du übrigens schon vom Ansatz her vergessen - die kann hier ja schon laut Aufgabenstellung nicht klappen!
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 Do 10.11.2011 | | Autor: | hubbel |
Was meinst du mit allgemeiner Fall? Der steht ja schon in der Aufgabenstellung.
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> Was meinst du mit allgemeiner Fall? Der steht ja schon in
> der Aufgabenstellung.
Hallo,
ja, den meint kamaleonti auch.
Aber er rät Dir, nicht die ganze Ungleichungekette hinzuschreiben, sondern mal zwei benachbarte Glieder.
Und dann sollst Du natürlich nicht nur draufgucken, sondern vermutlich etwas mit ihnen machen. Z.B. mal hinschreiben, was sie bedeuten.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Do 10.11.2011 | | Autor: | hubbel |
Ok, ich nehme mal:
[mm]{n \choose 0}<{n \choose 1}[/mm]
Das heißt ja soviel wie:
[mm]\left \bruch{n!}{0!*(n-0)!} \right[/mm]<[mm]\left \bruch{n!}{1!*(n-1)!}[/mm]
Hab aber keinelei Ideen, wie ich das Beweisen soll ohne Induktion.
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> Ok, ich nehme mal:
>
> [mm]{n \choose 0}<{n \choose 1}[/mm]
unter "allgemein" verstehe ich hier, dass du ${n [mm] \choose [/mm] j}$ bzw. ${n [mm] \choose [/mm] j+1}$ mit [mm] 0\leq j\leq [/mm] n-1 betrachten sollst.
Wende die Definitions des Binomialkoeffizienten an und vergleiche.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 Do 10.11.2011 | | Autor: | hubbel |
[mm]\left \bruch{n!}{j!*(n-j)!} \right[/mm]<[mm]\left \bruch{n!}{(j+1)!*(n-(j+1))!}[/mm]<...<...>...>[mm]\left \bruch{n!}{(n-1)!*(n-(n-1))!} \right[/mm]>[mm]\left \bruch{n!}{n!*(n-n)!}[/mm]
Also so oder? Ich sehe aber nicht, wo mir das weiterhilft.
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Hallo nochmal,
> [mm]\left \bruch{n!}{j!*(n-j)!} \right[/mm]<[mm]\left \bruch{n!}{(j+1)!*(n-(j+1))!}[/mm]<...<...>...>[mm]\left \bruch{n!}{(n-1)!*(n-(n-1))!} \right[/mm]>[mm]\left \bruch{n!}{n!*(n-n)!}[/mm]
>
> Also so oder? Ich sehe aber nicht, wo mir das weiterhilft.
Ja, schon. Aber ich sehe auch nicht, wozu es weiterhilft, gleich alles auszuschreiben.
Zum dritten Mal: Du sollst erst einmal für [mm] 0\le j
Es reicht allerdings, k=j+1 anzunehmen!
Also zu zeigen: [mm] \vektor{n\\j}=\bruch{n!}{j!*(n-j)!}=\blue{\bruch{n!}{j!*(n-j-1)!*(n-j)}<}\vektor{n\\j+1}=\bruch{n!}{(j+1)!(n-j-1)!}=\blue{\bruch{n!}{j!*(n-j-1)!*(j+1)}}
[/mm]
Wenn Du jetzt mal nur mit dem blauen Teil weitermachst, solltest Du schnell fertig sein.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:38 Fr 11.11.2011 | | Autor: | hubbel |
Wenn ich das zusammenfasse bleibt nur noch:
1/(n-j)<1/(j+k)
mit j=k+1 gilt:
1/(n-j-1)<1/(2k+1)
Was sagt mir das?
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Hallo nochmal,
jetzt geht aber was durcheinander.
Die Annahme war k=j+1.
> Wenn ich das zusammenfasse bleibt nur noch:
>
> 1/(n-j)<1/(j+k)
Nein, das ist keine gültige Zusammenfassung.
Richtig ist:
[mm] \bruch{1}{n-j}<\bruch{1}{j+1}
[/mm]
oder besser mit k: [mm] \bruch{1}{n-k+1}<\bruch{1}{k}
[/mm]
Da wir wissen, dass sowohl (n-k+1) als auch k>0 sind, gilt also auch:
[mm]\gdw\ k
Und - können wir darüber etwas aussagen? Ist es wahr oder nicht?
Grüße
reverend
> mit j=k+1 gilt:
>
> 1/(n-j-1)<1/(2k+1)
>
> Was sagt mir das?
Nichts; es ist ja nicht aus einer gültigen Umformung hervorgegangen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:56 Fr 11.11.2011 | | Autor: | hubbel |
Ja, das ist eine korrekte Aussage.
Danke, nun weiß ich Bescheid.
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Hallo hubbel,
> Ok, ich nehme mal:
>
> [mm]{n \choose 0}<{n \choose 1}[/mm]
>
> Das heißt ja soviel wie:
>
> [mm]\left \bruch{n!}{0!*(n-0)!} \right[/mm]<[mm]\left \bruch{n!}{1!*(n-1)!}[/mm]
Richtig.
> Hab aber keinelei Ideen, wie ich das Beweisen soll ohne
> Induktion.
Wozu Induktion? Für [mm] n\ge{2} [/mm] (das aus der Aufgabenstellung ja vorauszusetzen ist) sind all diese Fakultäten definiert und man kann kürzen:
[mm] \bruch{n!}{0!*(n-0)!}=\bruch{n!}{n!}=1<\bruch{n!}{1!*(n-1)!}=\bruch{(n-1)!*n}{(n-1)!}=n
[/mm]
So, und das geht im Prinzip genauso für [mm] \vektor{n\\j}<\vektor{n\\k}, [/mm] wenn [mm] j
Dazu weiter unten noch etwas.
Grüße
reverend
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