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Forum "Induktionsbeweise" - Binomialkoeffizient
Binomialkoeffizient < Induktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Binomialkoeffizient: Aufgabe 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:58 So 07.11.2010
Autor: Matheproof

Aufgabe
[mm] \forall [/mm] (n,k) [mm] \in \IN [/mm] x [mm] \IN [/mm] : k [mm] \le \bruch{n}{2} \Rightarrow \vektor{n \\ k-1} \le \vektor{n \\ k} [/mm]

Hallo,

Diese Aussage gilt doch nur für n>=2 und k>=1?  
Bsp:
Für n=1 und k=0 gilt [mm] \vektor{1 \\ -1} \le \vektor{1 \\ 0} [/mm]
und das geht nicht aufgrund [mm] \vektor{1 \\ -1} [/mm]

Aber wieso steht in der Aufgabenstellung, dass für [mm] \forall [/mm] (n,k) [mm] \in \IN [/mm] x [mm] \IN [/mm] gilt?


Vielen Dank im Voraus

        
Bezug
Binomialkoeffizient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:53 So 07.11.2010
Autor: wieschoo


> [mm]\forall[/mm] (n,k) [mm]\in \IN[/mm] x [mm]\IN[/mm] : k [mm]\le \bruch{n}{2} \Rightarrow \vektor{n \\ k-1} \le \vektor{n \\ k}[/mm]
>  
> Hallo,
>
> Diese Aussage gilt doch nur für n>=2 und k>=1?  
> Bsp:
> Für n=1 und k=0 gilt [mm]\vektor{1 \\ -1} \le \vektor{1 \\ 0}[/mm]
>  
> und das geht nicht aufgrund [mm]\vektor{1 \\ -1}[/mm]
>  
> Aber wieso steht in der Aufgabenstellung, dass für [mm]\forall[/mm]
> (n,k) [mm]\in \IN[/mm] x [mm]\IN[/mm] gilt?

Kommt darauf an, wie die natürlichen Zahlen definiert sind. So hast du natürlich Recht. Aber auf grund der Formulierung gehe mal von [mm]\IN:=\{1,2,3,\ldots\}[/mm] aus. Damit darfst du nicht k=0 setzen.

>  
>
> Vielen Dank im Voraus

Jetzt kannst du Induktion über n (mit festen k) machen.

Induktionsanfang: n=2 und k beliebig aber fest (+ unter Voraussetzung).
[mm]\vektor{2 \\ k-1}\leq \vektor{2 \\ k}[/mm]

[mm]{\frac {{2\choose k-1}}{{2\choose k}}}=\frac{k}{2-k+1}=\frac{k}{3-k}[/mm] für [mm]k\leq \frac{2}{2}[/mm]
Induktionsschritt:
...


Bezug
                
Bezug
Binomialkoeffizient: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:52 Mo 08.11.2010
Autor: Matheproof

Hallo wieschoo,

ich hab nicht ganz verstanden wie du auf den Induktionsanfang kommst.

kann ich die Aufgabe auch anders lösen?

Induktionsanfang für n=2 und k=1:

[mm] \vektor{2 \\ 1-1} \le \vektor{2 \\ 1} [/mm]
1 [mm] \le [/mm] 2

Induktionsschritt:
Zeige [mm] \vektor{n+1 \\ k-1} \le \vektor{n+1 \\ k} [/mm]
[mm] \vektor{n+1 \\ k-1} =\vektor{n \\ k-2} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ k-1} \le [/mm] (nach IV) [mm] \vektor{n \\ k-2} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ k} \le \vektor{n \\ k-1} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ k} =\vektor{n+1 \\ k} [/mm]

Aber hier hab ich das selbe Problem wie vorher: Ich darf nicht k=1 setzen.

[mm] \vektor{n+1 \\ k-1} [/mm] = [mm] \vektor{n \\k-2} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ k-1} [/mm]




Gruß Matheproof

Bezug
                        
Bezug
Binomialkoeffizient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:51 Mo 08.11.2010
Autor: reverend

Hallo Matheproof,

das sieht doch schon gut aus.

> Aber hier hab ich das selbe Problem wie vorher: Ich darf
> nicht k=1 setzen.
>
> [mm]\vektor{n+1 \\ k-1}[/mm] = [mm]\vektor{n \\ k-2}[/mm] + [mm]\vektor{n \\ k-1}[/mm]

Nein, natürlich nicht. Dann musst Du es eben für k=1 separat zeigen, das fällt hier ja nicht schwer.
Wer sagt denn, dass ein Beweis unbedingt elegant sein muss? Hauptsache, er ist vollständig. ;-)

Grüße
reverend

Bezug
        
Bezug
Binomialkoeffizient: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:04 Mo 08.11.2010
Autor: Matheproof

In der Aufgabenstellung steht nicht , dass ich die Aufgabe unbedingt mit Induktion beweisen muss.

Bezug
                
Bezug
Binomialkoeffizient: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:43 Mo 08.11.2010
Autor: wieschoo

Du kannst dich auch über die Definition durch wurschteln:
[mm]\vektor{n \\ k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}[/mm]

zu zeigen wäre [mm]\frac{\vektor{n \\ k-1}}{\vektor{n \\ k}}\leq1[/mm]


[mm]\frac{\vektor{n \\ k-1}}{\vektor{n \\ k}}={\frac {k!\, \left( n-k \right) !}{ \left( k-1 \right) !\, \left( n-k+1 \right) !}}[/mm]
jetzt du.

Du hast es aber im Unterforum "induktion" geschrieben.


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