Binomialkoeffizient < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:40 Di 31.10.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
Ich habe hier folgende Formel:
[mm] $\summe_{i=0}^{n}=\vektor{n\\i}(-1)^i=\vektor{n\\0}-\vektor{n\\1}+\vektor{n\\2}-\vektor{n\\3}+...\pm \vektor{n\\n}=0$
[/mm]
Nun habe ich mir Gedanken gemacht, warum das gleich Null sein soll. Ein Blick ind das Paskalsche Dreieck sagt mir, dass es für n=6 tatsächlich Null ist...oder auch für n=3
Mit n=2 stimmt es auch,
[mm] $\summe_{i=0}^{2}=\vektor{2\\i}(-1)^i=\vektor{2\\0}-\vektor{2\\1}+\vektor{2\\2}$
[/mm]
Aber wie kann man das jetzt beweisen? Ich muss ja irgendwie zeigen, dass die Binomialkoeffizienten dann am Ende addiert auch Null ergeben.
Also wie genau zeigt man, dass das auch Null ist?
Danke!
mfg
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Hallo Phoney,
es sollte wohl mit folgendem Hinweis funktionieren:
[mm] \vektor{n\\i}=\vektor{n\\n-i}
[/mm]
Schaffst du es nun? 
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 Di 31.10.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo
> es sollte wohl mit folgendem Hinweis funktionieren:
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> [mm]\vektor{n\\i}=\vektor{n\\n-i}[/mm]
>
> Schaffst du es nun?
Nein.
Ich gehe mal von der Formel $ [mm] \summe_{i=0}^{n}=\vektor{n\\i}(-1)^i=\vektor{n\\0}-\vektor{n\\1}+\vektor{n\\2}-\vektor{n\\3}+...\pm \vektor{n\\n}=0 [/mm] $ aus
wenn ich jetzt, um es einfach zu machen, n=2 setze, bekomme ich ja
[mm] \summe_{i=0}^{2}=\vektor{2\\i}(-1)^i=\vektor{2\\0}-\vektor{2\\1}+\vektor{2\\2}
[/mm]
Und nach deiner Formel gilt ja
$ [mm] \vektor{n\\i}=\vektor{n\\n-i} [/mm] $
$ [mm] \vektor{2\\0}=\vektor{2\\2-2} [/mm] $
Jetzt fehlt aber noch, dass [mm] $2*\vektor{n\\i} =\vektor{2\\1}$
[/mm]
ist.
Ich würds auch gerne allgemein zeigen und nicht mit Zahlen. Mir hilft das also leider nicht. Dennoch danke für den Tipp.
Gruß
Johann
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Hallo Phoney,
> Hallo
>
> > es sollte wohl mit folgendem Hinweis funktionieren:
> >
> > [mm]\vektor{n\\i}=\vektor{n\\n-i}[/mm]
> >
> > Schaffst du es nun?
>
> Nein.
>
> Ich gehe mal von der Formel
> [mm]\summe_{i=0}^{n}=\vektor{n\\i}(-1)^i=\vektor{n\\0}-\vektor{n\\1}+\vektor{n\\2}-\vektor{n\\3}+...\pm \vektor{n\\n}=0[/mm]
> aus
>
> wenn ich jetzt, um es einfach zu machen, n=2 setze, bekomme
> ich ja
>
> [mm]\summe_{i=0}^{2}=\vektor{2\\i}(-1)^i=\vektor{2\\0}-\vektor{2\\1}+\vektor{2\\2}[/mm]
>
> Und nach deiner Formel gilt ja
>
> [mm]\vektor{n\\i}=\vektor{n\\n-i}[/mm]
>
[mm]\vektor{2\\0}=\vektor{2\\2-2}=1[/mm]
[mm] \vektor{2\\1}=2
[/mm]
Damit hast du: [mm]\summe_{i=0}^{2}=\vektor{2\\i}(-1)^i=\vektor{2\\0}-\vektor{2\\1}+\vektor{2\\2}=1-2+1[/mm]
>
> Jetzt fehlt aber noch, dass [mm]2*\vektor{n\\i} =\vektor{2\\1}[/mm] ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
> ist.
[mm]\summe_{i=0}^{n}\vektor{n\\i}(-1)^i=\vektor{n\\0}-\vektor{n\\1}+\vektor{n\\2}-\vektor{n\\3}+...\pm \vektor{n\\n}=0[/mm]
Sortiere mal die Summanden um unter Benutzung des Hinweises von Bastiane unter der Annahme n=gerade Zahl:
[mm] $\vektor{n\\0}-\vektor{n\\1}+\vektor{n\\2}-\vektor{n\\3}+...$
[/mm]
[mm] $-\vektor{n\\n}+\vektor{n\\n-1}-\vektor{n\\n-2}+\vektor{n\\n-3}-...$
[/mm]
je zwei die übereinander stehen addieren sich zu 0, also ist alles zusammen =0.
Am schnellsten siehst du's zunächst mit ein paar weiteren Zeilen aus dem Pascalschen Dreieck, das stimmt allerdings.
Und das musst du dann verallgemeinern.
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> Ich würds auch gerne allgemein zeigen und nicht mit Zahlen.
> Mir hilft das also leider nicht. Dennoch danke für den
> Tipp.
Gruß informix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:29 Mi 01.11.2006 | | Autor: | Phoney |
Danke euch beiden, nun ist es klar, habs also verstanden.
Gruß
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