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Binomialkoeffitienten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:43 Di 08.11.2005
Autor: Binu

Hallo! Ich muss ne wichtige Übung abgeben und brauche unbedingt mehr als die Hälfte der Punkte - blick bei den meisten Aufgaben allerdings leider nicht durch..(hier nur 3 davon).Ich hoffe mir kann jemand helfen.. *bitte* Danke..

16 c) Begründen Sie:

[mm] \vektor{m \\ m} [/mm] + [mm] \vektor{m+1 \\ m} [/mm] + ... + [mm] \vektor{n \\ m} [/mm] = [mm] \vektor{n+1 \\ m+1} [/mm] ,m,n [mm] \in \IN [/mm] 0, m [mm] \le [/mm] n

16 d)

[mm] \vektor{m \\ m} [/mm] + [mm] \vektor{m+1 \\ m} [/mm] + ... + [mm] \vektor{m+s \\ m} [/mm] = [mm] \vektor{ m+s+1 \\ m+1} [/mm] ,m,s [mm] \in \IN [/mm] 0

Ansatz: Das einzige, was ich mir hier vorstellen konnte zu tun war, mit Hilfe der Formel [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] = n!/(k!*(n-k)!) alles umzuformen, allerdings hat mich das nicht wirklich weiter gebracht.

19) Bestimmen Sie

[mm] \vektor{m \\ 0} [/mm] * [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] + [mm] \vektor{m \\ 1} [/mm] * [mm] \vektor{ n \\ k-1} [/mm] + [mm] \vektor{m \\ 2} [/mm] * [mm] \vektor{n \\ k-2} [/mm] + ... + [mm] \vektor{m \\ k} [/mm] * [mm] \vektor{ n \\ 0} [/mm] ,m,n [mm] \in \IN, [/mm] k [mm] \le [/mm] min(m,n)

Danke im vorraus..

        
Bezug
Binomialkoeffitienten: Weg für eine Aufgabe
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:37 Mi 09.11.2005
Autor: Loddar

Guten Morgen Binu!


Ich habe mich mal an der ersten Aufgabe (16c) versucht und bin dabei mit vollständiger Induktion vorgegangen. Und siehe da ... es klappt!

Das wird dann auch der Weg für die anderen Aufgaben ähnlich gehen.


Hier mal der Induktionsschritt von 16c. Induktionsanfang für $n \ = \ m$ etc. musst Du dann noch selber führen.


Zu zeigen:  [mm] $\summe_{k=m}^{n+1}\vektor{k \\ m} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{(n+1)+1 \\ m+1}$ [/mm]


[mm] $\summe_{k=m}^{n+1}\vektor{k \\ m} [/mm] \ = \ [mm] \red{\summe_{k=m}^{n}\vektor{k \\ m}} [/mm] + [mm] \vektor{m \\ m} [/mm] \ = \ [mm] \red{\vektor{n+1 \\ m+1}} [/mm] + [mm] \vektor{m \\ m}$ [/mm]

$= \ [mm] \red{\bruch{(n+1)!}{(m+1)!*[(n+1)-(m+1)]!}} [/mm] + [mm] \bruch{(n+1)!}{m!*[(n+1)-m]!}$ [/mm]

$= \ [mm] \bruch{(n+1)!}{\blue{(m+1)!}*(n-m)!} [/mm] + [mm] \bruch{(n+1)!}{m!*\green{(n+1-m)!}}$ [/mm]

$= \ [mm] \bruch{(n+1)!}{\blue{m!*(m+1)}*(n-m)!} [/mm] + [mm] \bruch{(n+1)!}{m!*\green{(n-m)!*(n+1-m)}}$ [/mm]

$= \ [mm] \bruch{(n+1)!*(n+1-m)}{m!*(m+1)*(n-m)!*(n+1-m)} [/mm] + [mm] \bruch{(n+1)!*(m+1)}{m!*(n-m)!*(n+1-m)*(m+1)}$ [/mm]

$= \ [mm] \bruch{(n+1)!*(n+1-m) + (n+1)!*(m+1)}{(m+1)!*(n+1-m)!}$ [/mm]

$= \ [mm] \bruch{(n+1)!*[(n+1-m) + (m+1)]}{(m+1)!*(n+1-m)!}$ [/mm]

$= \ [mm] \bruch{(n+1)!*(n+2)}{(m+1)!*(n+1-m)!}$ [/mm]

$= \ [mm] \bruch{(n+2)!}{(m+1)!*(n+1-m)!} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{n+2 \\ m+1}$ [/mm]   [ok]


So, und nun Du die anderen ;-) ...


Gruß
Loddar

Bezug
        
Bezug
Binomialkoeffitienten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:53 Fr 11.11.2005
Autor: klausbo

Hey Leute, ich glaube, unser werter Prof will das nicht mit Induktion gezeigt bekommen
Bezug
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