Binomial/Poisson-Verteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:07 Mo 30.05.2005 | | Autor: | Deluxe |
Seien X1,.....Xn stochastisch unabhängig Y ist Poisson( [mm] \lambda) [/mm] verteilt.
und die Xi jeweils B(1,p)
nun soll gezeigt werden, dass Z Poisson(p [mm] \lambda) [/mm] verteilt ist
mit
Z= X1 + X2 +....+Xy, falls Y = 1,2,3....
bzw.
Z = 0 falls Y=0
daraus ergibt sich ja P{X1+.....Xy=k}= [mm] \summe_{n=1}^{ \infty} [/mm] P{X1+...+Xy=k|Y=n} * P{Y=n} + P{Z=k|Y=0}*P{Y=0}
formt man nun um so kommt:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] P{X1+....Xn=k}*P{Y=n}+P{Z=0|Y=0} *P{Y=0} raus
da P{Z=0|Y=0} = 1 folgt wieder:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] P{X1+....Xn=k}*P{Y=n}+ P{Y=0}
bzw.
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \vektor{n \\ k}p^k(1-p)^n-k [/mm] * [mm] e^-\lambda [/mm] * [mm] \bruch {\lambda^n}{n!} [/mm] + [mm] e^-\lambda
[/mm]
raus.
Und an dieser Stelle hänge ich. Habe ich beim umformen was falsch gemacht? Oder kann mir jemand sagen wie ich weiter umformen muss um später Poisson( [mm] p*\lambda) [/mm] zu bekommen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:25 Mi 01.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Du hast alles richtig gemacht! ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
Beachte bitte, das du am Schluss den einzelnen Summanden in die Summe reinziehen kannst und dann die Summe bei $n=k$ beginnen lassen kannst.
Dann erhältst du ab dort:
[mm] $e^{-\lambda} \sum\limits_{n=k}^{\infty} [/mm] {n [mm] \choose [/mm] k [mm] }p^k(1-p)^{n-k} \frac{\lambda^n}{n!}$
[/mm]
$= [mm] \frac{e^{-\lambda}(\lambda p)^k}{k!} \sum\limits_{n=k}^{\infty} \frac{(1-p)^{n-k}\lambda^{n-k}}{(n-k)!}$
[/mm]
$= [mm] \frac{e^{-\lambda}(\lambda p)^k}{k!} \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{((1-p)\lambda)^n}{n!}$
[/mm]
$= [mm] \frac{e^{-\lambda}(\lambda p)^k}{k!} \cdot e^{(1-p)\lambda}$
[/mm]
$= [mm] \frac{e^{-\lambda p}(\lambda p)^k}{k!}$,
[/mm]
was zu zeigen war.
Viele Grüße
Julius
|
|
|
|
