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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:32 Do 12.02.2015 | | Autor: | Picard |
Hallo Mathe Freunde,
mich beschäftigt seit einiger Zeit ein Teil eines Beweises, aber ich versteh es einfach nicht. Vielleicht könnt ihr mir weiter helfen.
Es soll bewiesen werden, dass jeder Bilinerform auf einem n-dimensionalen Vektorraum (wenn eine Basis fest gewählt wird, z.B [mm] (v_{1},...v_{n}) [/mm] eine n x n Matrix zugeordnet werden kann.
Zunächst wird bewiesen, dass die Abbildung linear ist. Danach wird einer Matrix eine Bilinearform zugewiesen. Das habe ich noch verstanden.
Dann kommt der Teil der bei mir für Kopfzerbrechen sorgt: Sei [mm] (e_{1},...e_{n}) [/mm] die Standardbasis von [mm] \IK^{n}. [/mm] Der Koordinatenvektor von [mm] v_{i}, 1\le [/mm] i [mm] \le [/mm] n, ist [mm] e_{i}, [/mm] und es gilt für alle 1 [mm] \le [/mm] s,t [mm] \le [/mm] n:
[mm] \beta(v_{s},v_{t})=e_{s}^{T}Ae_{t}=(a_{s1} [/mm] ... [mm] a_{sn})e_{t}=a_{st}
[/mm]
Warum ist der Koordinatenvektor von [mm] v_{i} [/mm] gleich [mm] e_{i}? [/mm] Wenn meine Basis z.B [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] ist und mein Vektor v = [mm] \vektor{2 \\ 3} [/mm] ist, dann ist doch der Koordinatenvektor von v gleich v selber, dann stellt sich mir die Frage warum im Beweis [mm] v_{s} [/mm] durch [mm] e_{s} [/mm] ersetzt werden darf. Also irgendwo mach ich ein Denkfehler...
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:55 Do 12.02.2015 | | Autor: | fred97 |
Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und [mm] B=\{v_1,v_2,...,v_n\} [/mm] eine Basis von V.
Ist nun v [mm] \in [/mm] V, so ex. eindeutig bestimmte [mm] k_1,...,k_n \in [/mm] K mit
[mm] v=k_1v_1+...+k_nv_n.
[/mm]
Dann ist [mm] (k_1,....,k_n) [/mm] der Koordinatenvektor von v bezüglich der Basis B.
Ist nun i [mm] \in \{1,...,n\}, [/mm] was ist dann der Koordinatenvektor von [mm] v=v_i [/mm] bezüglich B ?
Na das: (0,...,0,1,0,..0), wobei die 1 an der i-ten Stelle steht.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:01 Do 12.02.2015 | | Autor: | Picard |
Hallo Fred,
jetzt hat es endlich Klick gemacht!
Danke für die Antwort.
Gruß
Picard
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