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| Aufgabe | | Sei [mm] \sigma [/mm] eine bilineare Form auf V mit [mm] \forall [/mm] v,w [mm] \in [/mm] V: [mm] \sigma(v,w)=0 \Rightarrow \sigma(w,v)=0. [/mm] Zeigen Sie, dass [mm] \sigma [/mm] symmetrisch oder alternierend ist. |
Hallo,
ich sitze seit einiger Zeit an oben genannter Übungsaufgabe und komme weder vorwärts noch rückwärts.
Wir haben von unserem Übungsleiter bereits den Tipp bekommen mit der Annahme zu beginnen, dass [mm] \sigma [/mm] nicht alternierend ist, es also ein [mm] x\in [/mm] V gibt, für das gilt [mm] \sigma(x,x) \not= [/mm] 0. Doch egal wie ich anfange, ich lande nach einigen Zeilen Rechnens immer wieder auf so Aussagen wie [mm] \sigma(v,v)=\sigma(v,v). [/mm] Meine bisherigen Ansätze stelle ich daher nicht detalliert mit online, da ich glaube, dass sie nicht sinnvoll sind (z.B. habe cih versucht ob ich mit [mm] \sigma(x+v,x+v) [/mm] irgendwie weiterkomme - bin ich leider nicht :-( ).
Außerdem steht als Anmerkung zu der Aufgabe, dass wir nur folgende Definition zur Lösung benötigen:
Sei V ein K-Vektorraum für einen Körper K. Eine Abbildung [mm] \sigma: [/mm] V [mm] \times [/mm] V [mm] \rightarrow [/mm] K, die in beiden Variablen linear ist heißt bilinear, d.h. [mm] \forall \lambda, \mu \in [/mm] K, u,v,w [mm] \in [/mm] V:
[mm] \sigma(\lambda*v+\mu*w,u)=\lambda \sigma(v,u)+\mu \sigma(w,u)
[/mm]
[mm] \sigma(u,\lambda*v+\mu*w)=\lambda \sigma(u, v)+\mu \sigma(u,w).
[/mm]
[mm] \sigma [/mm] heißt symmetrisch, falls [mm] \sigma(v,w)=\sigma(w,v)
[/mm]
[mm] \sigma [/mm] heißt schiefsymmetrisch, falls [mm] \sigma(v,w)= [/mm] - [mm] \sigma(w,v)
[/mm]
[mm] \sigma [/mm] heißt alternierend, falls [mm] \sigma(v,v)=0
[/mm]
Ich hoffe einer von euch kann mir sagen, wie ich weiterkommen könnte und habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen Dank im Voraus,
Janine
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mo 02.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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