Bilden einer inneren Ableitung < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:24 Mi 14.09.2011 | | Autor: | Valbi |
| Aufgabe | 1. Gebe eine Stammfunktion an
2. Berechen sie die Stammfunktion, deren Graph durch den Punkt P verläuft, soweit die Aufgabe. |
Also, ich habe jetzt mein letztes Jahr Math vor der Nase, deswegen soll kein allzu schlechtes Ergebnis am Ende rausspringen. :)
1.Frage
Wie funktioniert das bilden einer inneren Ableitung.
Ich bin mir nicht sicher, aber ist von: f(x) [mm] \bruch{x}{(x2 + 1)³ }
[/mm]
die fertige Stammfunktion F(x) [mm] \bruch{-1}{4(x2 + 1)²} [/mm] ?
sollte dabei keine innere Ableitung mit verwendet sein, wäre es toll wenn mir jemand erklären könnte wie das geht.
Und Frage 2.
Berechen sie die Stammfunktion, deren Graph durch den Punkt P verläuft, soweit die Aufgabe.
d) sin 2(x), P( [mm] \bruch{\pi}{2};2) [/mm]
F(x) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] sin (2x)
Wie bekomme ich jetzt den Punkt ?
Dankbar für jede hilfe ! :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
ich befürchte, du wirfst hier einige Dinge durcheinander, die man unter gewissen Umständen durcheinanderwerfen darf, aber i.a. nicht. Es geht ja um Integrale. Daher zunächst meine Frage:
Habt ihr noch erweiterte Integrationsmethoden wie bspw. Integration durch Substitution gelernt oder macht ihr alles mit dem GTR?
Die Stammfunktion zu Frage 1 ist auf jeden Fall völlig falsch, egal ob das jetzt [mm] x^2+1 [/mm] oder 2x+1 im Nenner sein soll.
Zu Frage 2:
Hier ist deine Stammfunktion im Prinzip richtig, aber leider ist es doch nicht die richtige. Man muss hier mit
[mm] F(x)=\bruch{1}{2}*sin(2x)+c
[/mm]
ansetzen und dann c so bestimmen, dass das Schaubild durch P geht.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:58 Mi 14.09.2011 | | Autor: | Valbi |
Gut, dann habe ich zumindest 2. verstanden, ich muss also das c so bestimmen, dass sie den gesuchten Punkt schneidet.
zu 1.
sollte so aussehen: f(x) [mm] \bruch{x}{2x+1}
[/mm]
also, ich finde in meinem Hefter "Integration mittels linearer Substitution.
Ich versteh aber nicht, wo ich das Rezibroke verwenden muss & warum.
zumindest würde ich die innere Ableitung mal mit =2 vermuten.
Danke!
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Hallo,
diese Funktion kann man nicht so einfach mittels linearer Substitution integrieren. Du könntest den Integranden zuerlegen in eine Konstante und einen echt-gebrochen-rationalen Anteil. Das kann man, wenn man es nicht so sieht, bspw. mit Hilfe der Polynomdivision bewerkstelligen. Ist dir selbige bekannt?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Mi 14.09.2011 | | Autor: | Valbi |
Nein, damit weiß ich leider überhaupt nichts anzufangen, habe ich auch nicht gefunden im Hefter vom letzten Jahr.
Kannst du/Können sie (such dir was aus :p ) mir die Substitution vllt an einem anderen Beispiel zeigen ?
Dankeschön !
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Hallo,
wir duzen uns hier alle, also kein Problem. 
Meinst du jetzt die richtige Substitution oder die lineare? Für beide Fälle ist die Aufgabe gut zu Demonstrationszwecken geeignet:
i). Lösung per linearer Substitution
Es ist
[mm] \bruch{x}{2x+1}=\bruch{1}{2}-\bruch{1}{4x+2} [/mm] (Nachrechnen!)
Den vorderen Teil integriert man direkt, den hinteren mittels linearer Substitution, was dann eben bedeutet, dass man durch die innere Ableitung dividiert. Mit v(x)=4x+2 wird diese zu v'(x)=4. Wir erhalten:
[mm] \integral{\bruch{x}{2x+1} dx}=\integral{\bruch{1}{2}-\bruch{1}{4x+2} dx}=\bruch{1}{2}x-\bruch{1}{4}*ln|4x+2|+c
[/mm]
ii). Integration durch Substitution:
Mit u=2x+1 [mm] \gdw x=\bruch{u-1}{2} [/mm] , [mm] \bruch{du}{dx}=2 \gdw dx=\bruch{du}{2}
[/mm]
bekommt man
[mm] \integral{\bruch{x}{2x+1} dx}=\bruch{1}{2}\integral{\bruch{u-1}{u} du}=\bruch{1}{2}*\left(\bruch{1}{2}u-\bruch{1}{2}*ln|u|\right)+c=\bruch{1}{2}x-\bruch{1}{4}*ln|4x+2|+C
[/mm]
Anmerkung: in dieser zweiten Lösung habe ich am Ende [mm] C=c+\bruch{1}{4} [/mm] gesetzt.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:43 Mi 14.09.2011 | | Autor: | Valbi |
Wow, danke, so schwer ist es gar nicht ;)
hab dank ;)
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