Bilden einer Summenformel < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:51 Sa 14.06.2008 | | Autor: | F22 |
| Aufgabe | Finden Sie eine Formel für die folgende Summe und beweisen Sie diese anschließend mittels vollständiger Induktion
[mm] \summe_{l=1}^{n} (-1)^{l+1}l^2 [/mm] |
Hi,
danke schonmal an jeden der sich die Zeit nimmt und über mein Problem grübelt 
Ich versuche schon seid längerem immer wieder diese Aufgabe zu lösen. Leider habe ich es nach wie vor nicht geschafft. Eine "Patentlösung" die man darauf anwenden kann gibt es wohl nicht.
Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte
Viele Grüße
F22
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:04 Sa 14.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo F22!
Zu Beginn musst Du wohl oder übel mal die ersten Glieder der Folge und der Summe berechnen und aufschreiben.
Wenn ich das mache, erhalte ich (abgesehen vom Vorzeichen) die Werte einer bekannten Reihe.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:28 Sa 14.06.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
mache zuerst eine Fallunterscheidung für gerade n bzw. ungerade n.
Dann (für ungerade n) einen quadratischen Ansatz: $f(n) = [mm] an^2 [/mm] + bn + c$ und verwende
$f(n+2) = f(n) - [mm] (n+1)^2 [/mm] + [mm] (n+2)^2$
[/mm]
Diese Gleichung muß für alle ungeraden n gelten. Bringe alles auf eine Seite und du siehst ein Polynom links.
Da dieses Polynom also unendlich viele Nullstellen haben soll, muß es selbst das Nullpolynom sein, also alle Koeffizienten müssen Null sein.
Daraus ergeben sich 2 Gleichungen. Eine dritte Gleichung ergibt sich aus der Anfangsbedingung f(1) = 1.
Damit sind alle Koeffizienten zu ermitteln.
Für gerade n gehst du entsprechend vor und bekommst 2 Funktionen, für gerade und für ungerade n.
Dann wirst du sehen, daß die sich nur im Vorzeichen unterscheiden.
Mit einen [mm] $(-1)^{n+1}$ [/mm] lassen sie sich zusammenfassen. Das Ergebnis ist schön kurz 
LG
Will
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