Bild von linearer Abbildung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:55 Mo 05.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Ich bin hier gerade irgendwie zu blöd, das zu verstehen:
Die Abbildung ist [mm] F:\IR^2\to\IR^2, \vektor{x_1\\x_2}\mapsto\vektor{-2x_1+2x_2\\-x_1+x_2}.
[/mm]
Nun steht hier, dass Im [mm] F=\IR*(2,1) [/mm] und Ker [mm] F=\IR*(1,1). [/mm] Wie man auf Ker F kommt, habe ich mittlerweile verstanden: es muss dann ja gelten [mm] -2x_1+2x_2=0 [/mm] und [mm] -x_1+x_2=0, [/mm] wenn man das auflöst, erhält man [mm] x_1=x_2 [/mm] und sonst nichts. Aber wie komme ich bitte auf Im F? Könnte mir das vielleicht jemand erklären?
Viele Grüße
Bastiane
![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:09 Mo 05.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Ich dachte, das Nachfolgende verstehe ich vielleicht selber, aber das ist wohl doch nicht so...
Also, bei der obigen Aufgabe geht es dann weiter mit:
Für [mm] (2b,b)\in [/mm] Im F ist die Faser die Gerade mit der Gleichung [mm] x_2=x_1+b [/mm] (das habe ich auch noch herausgefunden), also [mm] F^{-1}(2b,b)=(0,b)+\IR*(1,1) [/mm] = [mm] \{(\lambda,b+\lambda):\lambda\in\IR\}. [/mm] Wie bitte schön kommt man hier auf das erste Gleichheitszeichen?
Die Fasern sind also parallele Geraden, der Kern ist die einzige Faser durch den Nullpunkt.
Vielleicht könnte mir auch noch jemand irgendwie anschaulich erklären, wie man sich das alles dann geometrisch vorstellt. Irgendwie haben wir das wohl immer nur mathematisch gemacht, und in diesem Buch hier kommen andauernd Koordinatensysteme, wo die Abbildungen dann eingezeichnet sind (wenn's nur die Abbildungen wären, würde ich das wohl noch verstehen), und hier z. B. das Ganze mit Kern und Bild und so auch anschaulich gezeigt wird. Und da verstehe ich irgendwie den Zusammenhang zwischen der Mathematik und der Anschauung nicht, falls man das so ausdrücken kann...
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:24 Mo 05.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
> Also, bei der obigen Aufgabe geht es dann weiter mit:
> Für [mm](2b,b)\in[/mm] Im F ist die Faser die Gerade mit der
> Gleichung [mm]x_2=x_1+b[/mm] (das habe ich auch noch
> herausgefunden), also [mm]F^{-1}(2b,b)=(0,b)+\IR*(1,1)[/mm] =
> [mm]\{(\lambda,b+\lambda):\lambda\in\IR\}.[/mm] Wie bitte schön
> kommt man hier auf das erste Gleichheitszeichen?
Es gilt:
[mm] $F^{-1}(2b,b) [/mm] = [mm] \left\{ \pmat{x_1 \\ x_1+b} \, :\, x_1 \in \IR\right\} [/mm] = [mm] \left\{ \pmat{0 \\ b} + x_1 \cdot \pmat{1 \\ 1}\, :\, x_1 \in \IR \right\} [/mm] = [mm] \pmat{0 \\ b} [/mm] + [mm] \IR \cdot \pmat{1 \\ 1}$.
[/mm]
> Die Fasern sind also parallele Geraden, der Kern ist die
> einzige Faser durch den Nullpunkt.
Dies ist doch klar, oder? Man erhält ja für jedes $b$ eine Geradengleichung; für $b [mm] \ne [/mm] 0$ liegt der Punkt $(0;b) [mm] \ne [/mm] (0;0)$ auf der Geraden.
> Vielleicht könnte mir auch noch jemand irgendwie
> anschaulich erklären, wie man sich das alles dann
> geometrisch vorstellt.
Das überlasse ich Paul, der kann das besser. 
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:15 Mo 05.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Stefan!
Danke für deine beiden Antworten - dachte ich's mir doch, dass es nicht allzu schwierig ist...
Viele Grüße
Christiane
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:40 Di 06.09.2005 | | Autor: | Paulus |
Liebe Christiane
da mich Stefan so einschätzt, als könne ich immer und alles geometrisch deuten, will ich doch einen kleinen, wahrscheinlich aber kläglichen Versuch unternehmen.
>
> Die Fasern sind also parallele Geraden, der Kern ist die
> einzige Faser durch den Nullpunkt.
>
Gut, jede Faser ist also das Urbild eines Punktes, das heisst, jede dieser parallelen Geraden wird auf einen einzelnen Punkt abgebildet.
Dazu fällt mir nur ein: wenn ich eine geometrische Abbildung suche, die parallele Geraden auf Punkte abbildet, dann mache ich einfach eine Parallelprojektion, und zwar gerade in Richtung dieser Geraden. Die Bildpunkte dieser Parallelprojektion müssen einfach auf einer Ursprungsgeraden liegen (für dein Beispiel), damit die Projektion als Lineare Abbildung gedeutet werden kann. Für dein Beispiel scheint mir die Gerade [mm] $x_2=-x_1$ [/mm] geeignet zu sein, weil sie schön senkrecht zur Projektionsrichtung steht. (Die [mm] $x_1$-Achse [/mm] oder die [mm] $x_2$-Achse [/mm] wären ebenso geeignet, da das Aufspüren der entsprechenden Abbildungsmatrix dann recht einfach wird)
So, jetzt liegen die Bilder der Fasern bereits als Punkte vor. Um sie noch auf die letztendliche Bildgerade zu bringen, sollte eine anschliessende Drehstreckung genügen. Die Gerade [mm] $x_2=-x_1$ [/mm] ist also noch um den Ursprung zu drehen, damit sie auf die Bildgerade zu liegen kommt, und dann ist noch eine Streckung zu machen, damit die Bildpunkte auch den richtigen Abstand haben.
Du kannst dir die gegebene Abbildung also vorstellen als hintereinander Ausführung einer Parallelprojektion (in Faserrichtung), gefolgt von einer Drehung und dann noch von einer Streckung.
Diese Aufteilung ist natürlich nicht eindeutig, aber sie erscheint mir doch irgendwie naheliegend zu sein.
Vielleicht nimmst du aber zur Übung die [mm] $x_1$-Achse [/mm] als Träger der Bildpunkte der Parallelprojektion. Dies hat dann den Vorteil, dass die Drehung wieder einfacher wird.
Ich denke, es ist oftmals hilfreich, Abbildungen in Teilabbildungen aufzuteilen, um sich eine Vorstellung machen zu können, was die Abbildung tut. (Die bilineare Abbildung in der Gaussschen Zahlenebene wird dann, falls sie jemals zur Sprache kommen sollte, für dieses Vorgehen auch sehr gut geeignet sein!  ;
also diese:
[mm] $w=\bruch{az+b}{cz+d}$
[/mm]
)
Ich hoffe, du konntest das mit Hilfe einer Skizze etwas nachvollziehen.
Herzlichst
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:41 Di 06.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Paul!
Danke für deine Erklärung. Irgendwie hatte ich aber wohl meine Frage nicht ganz so gut formuliert. Ich wollte das gar nicht unbedingt speziell für diese Aufgabe hier haben, sondern eigentlich eher allgemein. Aber ich glaube, ich werde da irgendwann nochmal im Internet was suchen, wo vielleicht so Sachen erklärt oder gezeigt werden.
Viele Grüße
Christiane
![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:16 Mo 05.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Es gilt ja:
$Im(F) = [mm] \left\{ \pmat{-2x_1+2x_2 \\ -x_1 + x_2}\, : \, x_1,\, x_2 \in \IR \right\} [/mm] = [mm] \left\{ \pmat{2 \cdot (-x_1+x_2) \\ -x_1 + x_2}\, : \, x_1,\, x_2 \in\IR \right\} [/mm] = [mm] \left\{\pmat{2 x \\ x}\, : \, x \in \IR \right\} [/mm] = [mm] \left\{ x \cdot \pmat{2 \\ 1}\, : \, x \in \IR \right\} [/mm] = [mm] \IR \cdot \pmat{2 \\ 1}$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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