Bild und Kern lineare Abbildun < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:03 Di 17.03.2009 | | Autor: | sinitsa1 |
| Aufgabe | Wir betrachten die Standartvektorräume V [mm] :=\IR³ [/mm] und W [mm] :=\IR² [/mm] über [mm] \IR. [/mm] Bestimmen Sie für die lin Abb. g: V -> W, die durch
g (x,y,z) := (y-2z, x-y+2z) definiert wird, die Vektorräume ker (g) und im (g) durch Angabe jeweils einer Basis. |
Hallo für alle
Kann mir, bitte jemand erklären was ist Ker(f) und was ist Im (f), und was ist Unterschied zwischen den Beiden? Außerdem, wie kann ich Basis von den beiden finden? Ich bitte um möglichsten einfache Erklärung, da Deutsch nicht meine Muttersprache ist.
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:55 Di 17.03.2009 | | Autor: | pelzig |
Ist [mm] $f:V\to [/mm] W$ linear, dann ist [mm] $ker(f):=\{v\in V\mid f(v)=0\}=f^{-1}(0)\subset [/mm] V$ und [mm] $im(f):=f(V):=\{f(v)\mid v\in V\}\subset [/mm] W$.
Ein offensichtlicher Unterschied ist, dass der Kern in V und das Bild in W liegt. Das Bild sind eben alle Vektoren, die f "trifft".
Zum berechnen einer Basis des Kerns löse zunächst das homogene lineare Gleichungssystem $Ax=0$, wobei A die Darstellungsmatrix von f ist.
Das Bild wird erzeugt durch [mm] $f(e_i)$ [/mm] (i=1,2,3), wobei [mm] $e_i$ [/mm] die Standartbasen sind, also [mm] $(1,0,0)^t, [/mm] ...$. Wähle unter diesen drei Vektoren ein maximales linear unabhängiges System aus.
Gruß, Robert
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