Bild und Kern bestimmen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei P der Vektorraum der reellen Polynome und sei die lineare Abbildung:
[mm] \alpha [/mm] : P --> P, f --> f'
gegeben. Bestimmen Sie Bild und Kern von [mm] \alpha^{3}. [/mm] Beweisen Sie Ihre Aussage. |
Vorgehensweise?
Nimmt man die allgemeine Form: [mm] a_{n}x^{n}+...+a_{1}x +a_{0} [/mm]
und leitet diese 3 mal ab?
wie bestimme ich dann davon bild und kern?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Im Prinzip hast du vollkommen recht. Das einfachste ist, ein Polynom hinzuschreiben, es 3x abzuleiten, und dann nachzudenken, für welche [mm] a_i [/mm] das 0 ist.
Die Lösung ist eigentlich ziemlich einfach: 1, x und x² verschwinden beim dreimaligen Ableiten, ihre Koeffizienten sind demnach beliebig. Mit anderen Worten: Das wäre schon eine Basis für den Kern, der Kern besteht aus allen Polynomen höchstens 2. Grades. Alle höheren Polynome sind im Bild.
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