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Ich weiß, das Thema hattet ihr schon zweimal diese Woche, aber dieses Thema ist eines was mir ziemliche Kopfschmerzen bereitet, denn ich habe zwar die Definition verstanden, aber nirgens ein Beispiel zum Verständis. Nach dem Durcharbeiten der Postsd hier habe ich versucht mal ne Aufgabe zu lösen:
f:(1,-1,0) [mm] \mapsto [/mm] (2,0,2), (2,3,2) [mm] \mapsto [/mm] (1,1,1), (4,1,2) [mm] \mapsto [/mm] (5,0,5)
dazu habe ich dann eine Matrix gebildet und nach ZSF umgeformt:
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \\ 2 & -1 & 3 } \Rightarrow \pmat{ 1 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & -1}
[/mm]
das heißt das Bild ist dann:
Bild f = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} \vektor{-1 \\ -1 \\ 0} \vektor{1 \\ -2 \\ -1} [/mm]
und der Kern f = 0
zu zeigen ist dann noch ob dies eine lin. Abb. f: [mm] \IR^3 \mapsto \IR^3 [/mm] mit den angegeben Eigenschaften ist.
Stimmt meins oder hab ichs immer noch net gerafft?
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 13:13 Mi 16.06.2004 | | Autor: | kaky896 |
Hallo Spacestar
> Ich weiß, das Thema hattet ihr schon zweimal diese Woche,
> aber dieses Thema ist eines was mir ziemliche Kopfschmerzen
> bereitet, denn ich habe zwar die Definition verstanden,
> aber nirgens ein Beispiel zum Verständis. Nach dem
> Durcharbeiten der Postsd hier habe ich versucht mal ne
> Aufgabe zu lösen:
>
> f:(1,-1,0) [mm]\mapsto[/mm] (2,0,2), (2,3,2) [mm]\mapsto[/mm] (1,1,1),
> (4,1,2) [mm]\mapsto[/mm] (5,0,5)
>
ich hätte mich erst einmal auf diese Vorgaben gestürzt. Zunächst solltest du sehen, dass die Vektoren (1,-1,0), (2,3,2) und (4,1,2) linear unabhängig sind, weshalb durch deine Vorgaben eindeutig eine lineare Abbildung des [mm]
\IR^3[/mm] definiert ist. Die Bilder dieser linear unabhängigen Vektoren spannen den Bildraum auf, also
Bild[mm]\Phi = [/mm] < (2,0,2),(1,1,1),(5,0,5)>,
was man vereinfachen kann zu <(1,0,1),(0,1,0)>
Damit hat das Bild die Dimension 2, also muss der Kern die dimension 1 haben, da sich die beiden Dimensionen zur Dimension des betrachteten Raumes addieren müssen.
Man sieht leicht, dass das fünffache des ersten Vektors das gleiche Bild hat, wie der doppelte dritte Vektor, also liegt
5(1,-1,0)-2(4,1,2)=(-3,-7,-8) im Kern und wegen dimension=1 spannt der den Kern auch auf.
> dazu habe ich dann eine Matrix gebildet und nach ZSF
> umgeformt:
>
> [mm]\pmat{ 1 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \\ 2 & -1 & 3 } \Rightarrow \pmat{ 1 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & -1}
[/mm]
>
Ich weiß nicht was diese Matrix bedeuten soll, aber wenn du den Vektor
(1,-1,0) dranmultiplizierst, kommt nicht der gewünschte Ergebnisvektor heraus.
Deshalb glaube ich nicht, dass du mit der Matrix etwas anfangen kannst.
Aber erkläre doch einfach mal, wie du auf die Matrix gekommen bist.
Ciao
KAKY896
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:56 Mi 16.06.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
> ich hätte mich erst einmal auf diese Vorgaben gestürzt.
> Zunächst solltest du sehen, dass die Vektoren (1,-1,0),
> (2,3,2) und (4,1,2) linear unabhängig sind
Das stimmt nicht:
$2 [mm] \cdot [/mm] (1,-1,0) + (2,3,2) = (4,1,2)$.
Dadurch wird auch der komplette Rest der Antwort falsch.
Liebe Grüße
Julius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:24 Mi 16.06.2004 | | Autor: | kaky896 |
Hallo Julius,
Danke dass du den Fehler gesehen hast. Ich wollte linear unabhängige Vektoren sehen, auch wenn sie es nicht waren. Nur so hätte die Aufgabe überhaupt Sinn gemacht. Natürlich kann in einem zweidimensionalen Raum ein dritter Bildvektor bei einer linearen Abbildung nicht einfach so gewählt werden. Beim nächsten mal schaue ich etwas besser hin
Ciao
KAKY896
> Hallo!
>
> > ich hätte mich erst einmal auf diese Vorgaben gestürzt.
>
> > Zunächst solltest du sehen, dass die Vektoren (1,-1,0),
>
> > (2,3,2) und (4,1,2) linear unabhängig sind
>
> Das stimmt nicht:
>
> [mm]2 \cdot (1,-1,0) + (2,3,2) = (4,1,2)[/mm].
>
> Dadurch wird auch der komplette Rest der Antwort falsch.
>
> Liebe Grüße
> Julius
>
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:30 Mi 16.06.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo,
wie schon in meinem ersten Posting gesagt, handelt es sich bei
[mm] $\left\{\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \right\}$
[/mm]
wegen
$2 [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$
[/mm]
um keine Basis des [mm] $\IR^3$. [/mm] Daher ist eine lineare Abbildung auf keinen Fall durch die Angabe der drei Bilder eindeutig gegeben.
Es bleibt die Frage, ob man dies wenigstens zu einer linearen Abbildung $f : [mm] \IR^3 \to \IR^3$ [/mm] erweitern kann. Aber auch das ist nicht der Fall! Gäbe es nämlich eine lineare Abbildung $f : [mm] \IR^3 \to \IR^3$ [/mm] mit
$f [mm] \left( \begin{pmatrix} 1 \\ - 1\\ 0 \end{pmatrix} \right) [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 0\\ 2 \end{pmatrix}$,
[/mm]
$f [mm] \left( \begin{pmatrix} 2 \\ 3\\ 2 \end{pmatrix} \right) [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$,
[/mm]
$f [mm] \left( \begin{pmatrix} 4 \\ 1\\ 2 \end{pmatrix} \right) [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}$,
[/mm]
dann müsste gelten:
[mm]\begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}[/mm]
[mm]= f \left( \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \right) [/mm]
[mm]= f\left( 2 \begin{pmatrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \right)[/mm]
[mm]= 2f\left( \begin{pmatrix} 1 \\ - 1\\ 0 \end{pmatrix} \right) + f \left( \begin{pmatrix} 2 \\ 3\\ 2 \end{pmatrix} \right)[/mm]
[mm]= 2 \begin{pmatrix} 2 \\ 0\\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
[mm]= \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}[/mm],
was einen Widerspruch darstellt.
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:51 Mi 16.06.2004 | | Autor: | Spacestar |
Das heißt diese Aufgabe kann diese bedingungen nicht erfüllen!
Damit hat sich ja das erledigt, das was ich vorher geschrieben hatte war einfach nur Mist, denke ich mal. Aber ich habe jetzt verstanden was Bild und Kern einer lin. Abb. sind!
aber danke julius, das diese Vektoren lin. abh. sind hab ich nicht gesehen, damit hat sich ja diese Aufgabe geklärt! die zweite hab ich nicht gepostet, aber wenn ihr wollt kann ich das ja noch machen!
Jedenfalls muss ich nur feststellen, ob die Vektoren lin. unabh. sein, dann nehme ich die Bildvektoren und und schaue ob diese lin. unabh. sind und kann damit dann den Rang bestimmen, daraus kann man dann sehen welchen Rang der Kern hat. Den Kern bestimme ich wenn ich die bildvektoren gleich null setze und das gleichungssystem nach seinen unbekannten auflöse!
ciao
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