Bild und Kern < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:27 So 31.05.2015 | | Autor: | rsprsp |
| Aufgabe | Gegeben sei die folgende lineare Abbildung: f: [mm] \IR^{2} \to \IR^{2}, f(\vektor{x_{1} \\ x_{2}}) [/mm] = [mm] \vektor{x_{1}-x_{2} \\ x_{2}-x_{1}}
[/mm]
a) Bestimmen und Skizzieren Sie das Bild von f.
b) Bestimmen und Skizzieren Sie den Kern von f. |
Die Funktion f: [mm] \IR^{2} \to \IR^{2}, f(\vektor{x_{1} \\ x_{2}}) [/mm] = [mm] \vektor{x_{1}-x_{2} \\ x_{2}-x_{1}} [/mm] = [mm] x_{1} \vektor{1 \\ -1} [/mm] + [mm] x_{2} \vektor{-1 \\ 1}
[/mm]
Kern(f) ist wenn [mm] f(\vektor{x_{1} \\ x_{2}}) [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] also [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{1}} [/mm] ist Kern(f) da [mm] \vektor{x_{1}-x_{1} \\ x_{1}-x_{1}} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0}.
[/mm]
Kern(f) = [mm] {\vektor{x_{1} \\ x_{1}}} [/mm] = [mm] {\vektor{1 \\ 1}}
[/mm]
Im(f) = [mm] {\vektor{1 \\ -1}} [/mm] da die Vektoren [mm] x_{1} \vektor{1 \\ -1} [/mm] + [mm] x_{2} \vektor{-1 \\ 1} [/mm] linear abhängig sind.
Ist das richtig ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:50 So 31.05.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig, nur müsste da span(1,1) stehen beim Kern, und entsprechend beim Bild, ausserdem solltest du Bild und Kern noch in einer x1,x2 Ebene einzeichnen.
Gruß ledum
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:33 So 31.05.2015 | | Autor: | rsprsp |
also
Kern(f)= span(1,1)
Im(f)= span(1,-1) ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:52 Mo 01.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> also
> Kern(f)= span(1,1)
> Im(f)= span(1,-1) ?
Ja, aber besser so:
$Kern(f)= span [mm] \{(1,1)\}$
[/mm]
$ Im(f)= span [mm] \{(1,-1) \}$
[/mm]
FRED
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