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| Aufgabe | Seien U,V,W vektorräume über K, [mm] f\in [/mm] L(V,W), [mm] g\in [/mm] L(U,V).
Zeigen sie:
1. (f o g) ist linear
2.kern(f o g)=g^-1(kern f)
3.f injektiv [mm] \Rightarrow [/mm] kern(f o g)=kern g
4.g surjektiv [mm] \Rightarrow [/mm] Bild(f o g)=bild f
Hinweis: f o g : U->W, mit (f o g)(x)=f(g(x)) für alle [mm] x\in [/mm] U |
zu 1. ich kann die linearität für f zeigen , aber kein plan wie das für f o g gehen soll
zu 2. keine idee wie ich da anfangen soll
zu 3. f injektiv [mm] \Rightarrow [/mm] kern(f o g)=kern g
klar wenn gilt kern({0} o g)=kern g
da aus injektivität f folgt kern(f)={0}
zu 4. g surjektiv [mm] \Rightarrow [/mm] Bild(f o g)= Bild f
fällt mir nur ein das unsere abbildung ja von U [mm] \rightarrow [/mm] V und dann
von V [mm] \rightarrow [/mm] W abbiledet und das aus der surjektivität von
g [mm] \Rightarrow [/mm] g (U)=V [mm] \Rightarrow [/mm] Bild(f o g)= bild [mm] (U\rightarrow [/mm] V o [mm] V\rightarrow [/mm] W) [mm] \Rightarrow [/mm] Bild(f o g)= bild [mm] (U=V\rightarrow [/mm] V o [mm] V\rightarrow [/mm] W)= Bild(f)
oder so was in der art, bin mir aber nicht sicher.
hab das in keinem anderen forum gepostet
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> Seien U,V,W vektorräume über K, [mm]f\in[/mm] L(V,W), [mm]g\in[/mm] L(U,V).
> Zeigen sie:
>
> 1. (f o g) ist linear
> 2.kern(f o g)=g^-1(kern f)
> 3.f injektiv [mm]\Rightarrow[/mm] kern(f o g)=kern g
> 4.g surjektiv [mm]\Rightarrow[/mm] Bild(f o g)=bild f
>
> Hinweis: f o g : U->W, mit (f o g)(x)=f(g(x)) für alle [mm]x\in[/mm]
> U
> zu 1. ich kann die linearität für f zeigen , aber kein
> plan wie das für f o g gehen soll
Hallo,
das geht genau wie immer: f o g ist ja eine lineare Abbildung v. U nach W,
und Du mußt nun zeigen, daß für alle [mm] u_1, u_2 \in [/mm] U (f o [mm] g)(u_1+u_2)=(f [/mm] o [mm] g)(u_1)+(f [/mm] o [mm] g)(u_2)
[/mm]
und für alle [mm] \lambda \in [/mm] K (f o [mm] g)(\lambda u_1)=\lambda [/mm] (f o [mm] g)(u_1) [/mm] richtig ist.
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> zu 2. keine idee wie ich da anfangen soll
Ich würde hier versuchen, die beiden Teilemengenbeziehungen elementweise zu zeigen.
>
> zu 3. f injektiv [mm]\Rightarrow[/mm] kern(f o g)=kern g
> klar wenn gilt kern({0} o g)
Was soll {0} o g darstellen?
Du weißt ja wegen der Injektivität v. f, daß [mm] kernf=\{0\}.
[/mm]
Nun zeige unter dieser Voraussetzung für kern(f o g)=kern g elementweise die beiden Teilmengenbeziehungen.
[mm] "\subseteq":
[/mm]
Sei [mm] x\in [/mm] kern(f o g) ==> 0=(f o g)(x)=... ==>...
> zu 4. g surjektiv [mm]\Rightarrow[/mm] Bild(f o g)= Bild f
> fällt mir nur ein das unsere abbildung ja von U
> [mm]\rightarrow[/mm] V und dann
> von V [mm]\rightarrow[/mm] W abbiledet und das aus der surjektivität
> von
> g [mm]\Rightarrow[/mm] g (U)=V [mm]\Rightarrow[/mm] Bild(f o g)= bild
> [mm](U\rightarrow[/mm] V o [mm]V\rightarrow[/mm] W) [mm]\Rightarrow[/mm] Bild(f o g)=
> bild [mm](U=V\rightarrow[/mm] V o [mm]V\rightarrow[/mm] W)= Bild(f)
>
> oder so was in der art, bin mir aber nicht sicher.
Auch hier würde ich die beiden Teilmengenbeziehungen unter Beachtung der Voraussetzung elementweise zeigen.
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | > [mm]"\subseteq":[/mm]
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> Sei [mm]x\in[/mm] kern(f o g) ==> 0=(f o g)(x)=... ==>...
>
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ich hab gerade keine ahnung wie der nächste schritt nach 0=(f o g)(x)=...
aussehen soll, oder wie ich das umformen kann ausser zu sagen (f o g)(x)=f(g(x))= und dann?
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> > [mm]"\subseteq":[/mm]
> >
> > Sei [mm]x\in[/mm] kern(f o g) ==> 0=(f o g)(x)=... ==>...
> >
> >
> ich hab gerade keine ahnung wie der nächste schritt nach
> 0=(f o g)(x)=...
> aussehen soll, oder wie ich das umformen kann ausser zu
> sagen (f o g)(x)=f(g(x))= und dann?
Hallo,
jetzt solltest Du Dich daran erinnern, daß die Injektivität v. f Voraussetzung war, also Kern [mm] f=\{0\}.
[/mm]
Gruß v. Angela
>
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zu 2. ist denn $ f o g=g^-1 o f$ das gleiche???
weil ich kenn ja nur die umformung kern(f o g)(x)=kern (f(g(x)))
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> zu 2. ist denn [mm]f o g=g^-1 o f[/mm] das gleiche???
Hallo,
Du kannst Dir schon anhand der Definitions- und Wertemengen v. f und g überlegen, daß daß, was Du da oben schreibst, ganz großer Blödsinn ist.
(Außerdem steht es in den Sternen, ob g invertierbar ist.)
Aber von dem, was Du schreibst, ist ja auch überhaupt nicht die Rede!
Zeigen sollst Du
>>> 2.kern(f o [mm] g)=g^{-1}(kern [/mm] f) ,
also eine Gleichheit v. Mengen und nicht v. Funktionen.
Links haben wir den Kern v. f o g, rechts das Urbild (unter g) der Menge kern f.
> weil ich kenn ja nur die umformung kern(f o g)(x)=kern
> (f(g(x)))
Was soll denn kern(f o g)(x) bedeuten???
Weißt Du eigentlich, was der kern einer Abbildung ist???
Zeigen mußt Du
A.: [mm] x\in [/mm] kern(f o g) ==> [mm] x\in g^{-1}(kern [/mm] f)
und
B.: [mm] x\in g^{-1}(kern [/mm] f) ==> [mm] x\in [/mm] kern(f o g).
Gruß v. Angela
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