Bild eines Urbilds < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:52 Mo 26.03.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Es sei [mm] $f\colon A\to [/mm] B$ eine Abbildung. Weiter seien [mm] $E\subseteq [/mm] A, [mm] F\subseteq [/mm] B$.
Man zeige:
(1) [mm] $f(f^{-1}(F))\subseteq [/mm] F$
(2) [mm] $f(f^{-1}(F))=F~\forall~F\subseteq B\Leftrightarrow\text{ f ist surjektiv}$ [/mm] |
[mm] \textit{Hier sind meine Beweise, von denen ich gerne wüsste, ob sie so in Ordnung ist.}
[/mm]
[mm] \textbf{Beweis zu (1)}
[/mm]
Sei [mm] $x\in f(f^{-1}(F))=\left\{f(\omega)~|~\omega\in f^{-1}(F)\right\}$, [/mm] das heißt [mm] $x=f(\omega)$ [/mm] für ein [mm] $\omega\in f^{-1}(F)=\left\{\xi\in A~|~f(\xi)\in F\right\}$, [/mm] das heißt [mm] $f(\omega)\in [/mm] F$.
[mm] $\Rightarrow x=f(\omega)\in f(f^{-1}(F))$
[/mm]
[mm] \textbf{Beweis zu (2)}
[/mm]
[mm] "$\Leftarrow$":
[/mm]
Gezeigt werden muss nur noch die Inklusion [mm] $f(f^{-1}(F))\supseteq [/mm] F$. Die andere Inklusion habe ich ja schon bei (1) gezeigt (für diese Inklusion benötigt man gar nicht, daß die Abbildung surjektiv ist).
Sei [mm] $x\in [/mm] F$. Da f surjektiv ist, existiert mindestens ein [mm] $y\in [/mm] A: f(y)=x$.
[mm] $\Rightarrow y\in f^{-1}(F)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow f(y)\in\left\{f(\omega)~|~\omega\in f^{-1}(F)\right\}=f(f^{-1}(F))$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow x=f(y)\in f(f^{-1}(F))$
[/mm]
[mm] "$\Rightarrow$":
[/mm]
Angenommen, f ist [mm] \underline{nicht} [/mm] surjektiv.
Dann gibt es ein [mm] $b\in [/mm] B$, für das es kein [mm] $a\in [/mm] A$ gibt, sodaß $f(a)=b$. Definiere [mm] $F:=\left\{b\right\}$.
[/mm]
Es gilt dann [mm] $f(f^{-1}(F))=f(\emptyset)=\emptyset\neq [/mm] F$.
Das ist ein Widerspruch, denn behauptet war [mm] $f(f^{-1}(F))=F$ [/mm] für [mm] \underline{alle} $F\subseteq [/mm] B$.
[mm] $\Box$
[/mm]
[mm] \textit{mikexx}
[/mm]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:44 Mo 26.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo mikexx,
> [mm]\textbf{Beweis zu (1)}[/mm]
> Sei [mm]x\in f(f^{-1}(F))=\left\{f(\omega)~|~\omega\in f^{-1}(F)\right\}[/mm],
> das heißt [mm]x=f(\omega)[/mm] für ein [mm]\omega\in f^{-1}(F)=\left\{\xi\in A~|~f(\xi)\in F\right\}[/mm],
> das heißt [mm]f(\omega)\in F[/mm].
> [mm]\Rightarrow x=f(\omega)\in \blue{f(f^{-1}(F))}[/mm]
Kleiner Schreibfehler: Anstelle des Blau markierten sollte F stehen.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Alles sehr überzeugend!
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:08 Mo 26.03.2012 | | Autor: | mikexx |
> Hallo mikexx,
>
> > [mm]\textbf{Beweis zu (1)}[/mm]
> > Sei [mm]x\in f(f^{-1}(F))=\left\{f(\omega)~|~\omega\in f^{-1}(F)\right\}[/mm],
> > das heißt [mm]x=f(\omega)[/mm] für ein [mm]\omega\in f^{-1}(F)=\left\{\xi\in A~|~f(\xi)\in F\right\}[/mm],
> > das heißt [mm]f(\omega)\in F[/mm].
> > [mm]\Rightarrow x=f(\omega)\in \blue{f(f^{-1}(F))}[/mm]
>
> Kleiner Schreibfehler: Anstelle des Blau markierten sollte
> F stehen.
Oh, stimmt. Danke.
>
> Alles sehr überzeugend!
Vielen Dank für Deine Mühe, es angeguckt zu haben!
[mm] \textit{mikexx}
[/mm]
|
|
|
|
