Bild der Resolventenabbildung < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:29 Di 28.06.2011 | | Autor: | Braten |
Hallo,
Sei X ein Banachraum und T:X->X ein linearer Operator.
ich möchte gerne Nachvollziehen, warum das Bild der Resolvente zu jedem Punkt c genau der Definitionsbereich von T sein muss?
Also im(R(c))=D(T). <=> [mm] im((T-c*I)^{-1})=D(T).
[/mm]
Dabei ist T definiert auf einem linearen Unterraum von X zu denken.
Kann mir da jemand behilflich sein?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:43 Di 28.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> Sei X ein Banachraum und T:X->X ein linearer Operator.
> ich möchte gerne Nachvollziehen, warum das Bild der
> Resolvente zu jedem Punkt c genau der Definitionsbereich
> von T sein muss?
> Also im(R(c))=D(T). <=> [mm]im((T-c*I)^{-1})=D(T).[/mm]
>
> Dabei ist T definiert auf einem linearen Unterraum von X zu
> denken.
Ja und dieser Unterraum ist D(T).
Wir haben, wenn c aus der Resolventenmenge stammt:
$T-cI:D(T) [mm] \to [/mm] X$ ist bijektiv.
Dann ist
[mm] $(T-cI)^{-1}:X \to [/mm] D(T)$ ebenfalls bijektiv.
Das heißt: $ [mm] im((T-c\cdot{}I)^{-1})=D(T). [/mm] $
FRED
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> Kann mir da jemand behilflich sein?
>
> Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:58 Di 28.06.2011 | | Autor: | Braten |
Natürlich! das ist ja richtig einfach gewesen. Vielen Dank für deine Hilfe!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 Sa 02.07.2011 | | Autor: | Braten |
Hallo Fred,
ich habe da noch eine Frage zu der Definition. Man sagt ja, dass c [mm] \in \IC [/mm] nur dann in der ResolventenMenge von T:X->X ist, falls im((T-c*I))=X. (zumindest in der Definition, die mir vorliegt).
Wikipedia fordert nur, dass im((T-c*I)) dicht in X liegen muss. Wäre es nicht sinnvoll, auch diese Vorderung fallen zu lassen? (Also allg. abbildungen mit im(T-c*T) [mm] \subset [/mm] X) zu betrachten?
Was spricht dagegen?
Liebe Grüsse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:00 Sa 02.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
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> ich habe da noch eine Frage zu der Definition. Man sagt ja,
> dass c [mm]\in \IC[/mm] nur dann in der ResolventenMenge von T:X->X
> ist, falls im((T-c*I))=X.
...und T-cI injektiv ist....
> (zumindest in der Definition, die
> mir vorliegt).
>
> Wikipedia fordert nur, dass im((T-c*I)) dicht in X liegen
> muss. Wäre es nicht sinnvoll, auch diese Vorderung fallen
> zu lassen? (Also allg. abbildungen mit im(T-c*T) [mm]\subset[/mm] X)
> zu betrachten?
> Was spricht dagegen?
Hast Du Dir mal überlegt , wofür die Resolventenmenge gut ist ?
In der Resolventenmenge von T versammelt man die Punkte c , für die T-cI "gutartig" ist (also bijektiv)
Wenn Du nur forderst
im(T-c*I) [mm]\subset[/mm] X,
so wäre doch jedes c in der Resolventenmenge !
FRED
>
> Liebe Grüsse
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Sa 02.07.2011 | | Autor: | Braten |
Ja das hat mir schon sehr geholfen.
Leider habe ich mich sehr unpräzise ausgedrückt!
Eine mögliche Definition lautet ja so:
T:X->X mit D(T) [mm] \subset [/mm] X. Dann ist:
c [mm] \in [/mm] Res(T), falls:
1)die Inverse zu (T-c*I) existiert
2)(T-c*I)^-1 ist stetig
3)(T-c*I)^-1 ist auf einer dichten Teilmenge definiert.
Meine Überlegung war jetzt, lediglich den 3. Punkt sozusagen wegzulassen.
Wären dann vielleicht zu viele Werte (und somit "singuläre" Werte) c in der Resolventenmenge?
Viele Grüsse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:26 So 03.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ja das hat mir schon sehr geholfen.
>
> Leider habe ich mich sehr unpräzise ausgedrückt!
> Eine mögliche Definition lautet ja so:
>
> T:X->X mit D(T) [mm]\subset[/mm] X. Dann ist:
> c [mm]\in[/mm] Res(T), falls:
> 1)die Inverse zu (T-c*I) existiert
> 2)(T-c*I)^-1 ist stetig
> 3)(T-c*I)^-1 ist auf einer dichten Teilmenge definiert.
>
> Meine Überlegung war jetzt, lediglich den 3. Punkt
> sozusagen wegzulassen.
>
> Wären dann vielleicht zu viele Werte (und somit
> "singuläre" Werte) c in der Resolventenmenge?
Ja
FRED
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> Viele Grüsse
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