Bild, Kern einer Linearen Abb. < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:23 Do 25.11.2004 | | Autor: | Nette |
Hi!
Ich hab hier ne Aufgabe, bei der ich mir nicht sicher bin.
Sei T: K² [mm] \to [/mm] K² gegeb3n durch T [mm] \vektor{a\\ b} [/mm] = [mm] \vektor{a+b \\ 0}. [/mm]
Wir sollen den Kern und das Bild von T bestimmen.
Für den Kern gilt ja:
ker(T) = {k [mm] \in [/mm] K: T(k) = 0}
In diesem Fall ja [mm] \vektor{a+b \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0}, [/mm] d.h. a+b = 0
d.h. ker(T) = { [mm] \lambda \vektor{1 \\ -1}: \lambda \in [/mm] k} = K [mm] \vektor{1 \\ -1}. [/mm] Stimmt das?
Und nun zum Bild.
Bild(T) = {t(k): k [mm] \in [/mm] K}, d.h. Bild(T) = [mm] \vektor{a+b \\ 0}.
[/mm]
Ist das so richtig?
Danke schon mal!
Gruß
Annette
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:33 Fr 26.11.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Annette!
Schön, dass du uns auch deine Ansätze mitteilst!!! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Sei T: K² [mm]\to[/mm] K² gegeb3n durch T [mm]\vektor{a\\ b}[/mm] =
> [mm]\vektor{a+b \\ 0}.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Wir sollen den Kern und das Bild von T bestimmen.
> Für den Kern gilt ja:
> ker(T) = {k [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
K: T(k) = 0}
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> In diesem Fall ja [mm]\vektor{a+b \\ 0}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0},[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> d.h. a+b = 0
> d.h. ker(T) = { [mm]\lambda \vektor{1 \\ -1}: \lambda \in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> k} = K [mm]\vektor{1 \\ -1}.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Stimmt das?
Perfekt!! ![[respekt]](/images/smileys/respekt.gif "[respekt]")
> Und nun zum Bild.
> Bild(T) = {t(k): k [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
K}, d.h. Bild(T) = [mm]\vektor{a+b \\ 0}.
[/mm]
Warum machst du das nicht genauso schön wie beim Kern? 
Ich behaupte, dass
$Bild(T) = K [mm] \vector{1 \\ 0}$
[/mm]
gilt. Hast du eine Idee, warum das so sein könnte?
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 Fr 26.11.2004 | | Autor: | Nette |
Hi!
Also danke erstmal.
Leider komm ich mit dem Bild(T) nicht weiter.
Beim Kern konnte man ja T(k)= 0 setzten. Aber hier hab ich ja kein Wert, mit dem ich T(k) gleichsetzen kann. Könnte mir da bitte jemand weiterhelfen?
Gruß
Annette
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:20 Fr 26.11.2004 | | Autor: | Julius |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo!
Du hast doch schon "gezeigt":
$Bild(T) =\left\{ \begin{pmatrix} a+b \\ 0 \end{pmatrix}\, : \, a,b \in K \right\}$
und sollst jetzt zeigen, dass
$Bild(T) = \left\{ c \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\, :\, x \in K \righ\} = K \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$
gilt.
Das ist doch nun wirklich nicht so schwierig.
Hast du ein $\begin{pmatrix} a+b \\ 0 \end{pmatrix}$, so gilt doch:
$\begin{pmatrix}a+b \\ 0 \end{pmatrix} = (a+b) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$.
Umgekehrt gilt:
$c \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c+0 \\ 0 \end{pmatrix}$.
Damit bist du schon fertig und hast gezeigt:
$Bild(T) = K \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$.
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:40 Fr 26.11.2004 | | Autor: | Nette |
Hi!
Vielen Dank für die ausführliche Antwort. Ja eigentlich ist das nicht schwer,
Mit dem Kern hatten wir ein Beispiel, deshalb hab ich das auch kapiert, aber mit dem Bild eben nicht. Aber jetzt hab ich´s verstanden. Danke.
Gruß
Annette
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