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Bild, Abbildung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Bild, Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:38 Di 27.06.2006
Autor: didi_160

Aufgabe
Es sei A eine m x n-Matrix.

a) Addieren Sie für vorgegebene i  [mm] \not= [/mm] j und [mm] \lambda \in \IR [/mm] zur i-ten Spalte das [mm] \lambda [/mm] -fache  der j -ten Spalte. Zeigen Sie, dass die so abgeänderte Matrix A´als Abbildung  [mm] \IR^n \to \IR^m [/mm] noch dass selbe Bild wie A hat.

b) Addieren Sie für vorgegebene i  [mm] \not= [/mm] j und [mm] \lambda \in \IR [/mm] zur i-ten Zeile  das [mm] \lambda [/mm] -fache  der j -ten Spalte. Zeigen Sie , dass die so ab geänderte Matrix A´als Abbildung  [mm] \IR^n \to \IR^m [/mm] noch den selben Kern wie A hat.

Also:
Zu a)

A = [mm] \begin{pmatrix}a_1_1&a_1_2\\a_2_1&a_2_2\end{pmatrix}. [/mm]

A´ [mm] =\begin{pmatrix}a_1_1&(a_1_2+\lambda*a_1_1\\a_2_1&(a_2_2+\lambda*a_2_1\end{pmatrix}. [/mm]

Aber wie ich jetzt weiter verfahren muss ist mir unklar.
Wer ist so nett und nimmt mich ein wenig an die Leine???

Gruß didi_160
Besten Dank im Voraus

        
Bezug
Bild, Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:33 Di 27.06.2006
Autor: mathiash

Moin 160,

es ist ja das Bild von A der von den Spaltenvektoren von A aufgespannte Vektorraum, dh die Spalten bilden ein Erzeugendensystem.

Und zum Kern:

Der Kern steht ja senkrecht auf jeder Zeile von A (Zeile mal Vektor muss 0 sein), also gilt dies auch für Linearkombinationen von Zeilen.

Gruss + viel Erfolg,

Mathias

Bezug
                
Bezug
Bild, Abbildung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 18:37 Di 27.06.2006
Autor: didi_160

Hi Mathias,

Zu a:

> es ist ja das Bild von A der von den Spaltenvektoren von A
> aufgespannte Vektorraum, dh die Spalten bilden ein
> Erzeugendensystem.

Du meinst das reicht als Begründung zu a) aus???

Gruß didi_160

Bezug
                
Bezug
Bild, Abbildung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 22:18 Di 27.06.2006
Autor: didi_160

Hi Mathias,
mit der Aufg. b) habe ich noch ein Problem. Du sagst:

> Der Kern steht ja senkrecht auf jeder Zeile von A (Zeile
> mal Vektor muss 0 sein), also gilt dies auch für
> Linearkombinationen von Zeilen.

Zunächst mal erhalte ich doch für A':

A´= [mm] \begin{pmatrix} a_1_1+\lambda a_2_1 &a_1_2+\lambda * a_2_2\\a_2_1&a_2_2\end{pmatrix} [/mm]

Ist das so richtig?

Aber wie zeige ich jetzt, dass A´als Abbildung [mm] \IR^n \to \IR^m [/mm] noch den selben Kern wie A hat??

Mit freundlichen Grüssen
didi_160

Bezug
                        
Bezug
Bild, Abbildung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:37 Di 27.06.2006
Autor: leduart

Hallo 160
Lies den Beitrag von mathiash wirklich!
Gruss leduart

Bezug
                        
Bezug
Bild, Abbildung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:20 Do 29.06.2006
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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