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Hallo allerseits!
Ich wollte mal fragen wie man in [mm] \IC [/mm] die Injektivität und Surjektivität bzw. die Bijektivität zeigt! Wie zeigt man das ganz allgemein? Und kann jemand mir das bitte anhand dieser Aufgabe zeigen :
Sei [mm] \IL [/mm] = { z [mm] \in \IC [/mm] | Im(z) > 0} und T = { z [mm] \in \IC [/mm] | |z| < 1}
Man soll zeigen dass g : [mm] \IL \to [/mm] T , g(z) = (z-i)/(z+i) bijektiv ist!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke im voraus
LG
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Hallo!
Du zeigst Bijektivität im Grunde genauso wie im [mm] \IR.
[/mm]
Injektivität: Aus [mm] f(z_{1}) [/mm] = [mm] f(z_{2}) [/mm] muss [mm] z_{1} [/mm] = [mm] z_{2} [/mm] folgen. Ist das bei dir der Fall? Schreibe [mm] f(z_{1}) [/mm] = [mm] f(z_{2}) [/mm] mit deiner Funktion aus und vereinfache die Gleichung soweit, bis [mm] z_{1} [/mm] = [mm] z_{2} [/mm] offensichtlich folgt.
Surjektivität: Zu jedem w des Wertebereichs muss ein z des Definitionsbereichs existieren, sodass w = f(z) ist. Hier bildest du zum Beweis am Besten die Umkehrfunktion z = [mm] f^{-1}(w) [/mm] und hast damit ja nachgewiesen, dass für jedes w ein solches z existiert, wenn du noch zeigst dass [mm] f^{-1}(w) [/mm] auch für jedes w im Definitionsbereich von f liegt.
Nun wende diese Prinzipien selbst auf dein Beispiel an!
Viele Grüße, Stefan.
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