Bijektivität und ableitung < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:24 So 12.05.2013 | | Autor: | Aguero |
| Aufgabe | für x [mm] \in \IR [/mm] definieren wir:
sinh x := [mm] \bruch{ e^{x} - e^{-x}}{2}
[/mm]
cosh x := [mm] \bruch{ e^{x} + e^{-x}}{2}
[/mm]
tanh x := sinh x := [mm] \bruch{sinh x}{cosh x} [/mm] |
(i)
Zeige, dass die funktionen
sinh: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR
[/mm]
[mm] cosh|_{0,+\infty} [/mm] : [mm] [0,+\infty) [/mm] -> [mm] [1,+\infty)
[/mm]
und
tanh: [mm] \IR [/mm] -> (-1, 1) bijektiv sind
(ii)
Seien die umkehrfunktionen der funktionen aus (i) mit arcsinh, arccosh und arctanh bezeichnet. bestimmen sie die ableitungen dieser drei umkehrfunktionen.
___
kann es bitte jemand zur einer dieser 3 funktionen durchführen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:37 So 12.05.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> für x [mm]\in \IR[/mm] definieren wir:
>
> sinh x := [mm]\bruch{ e^{x} - e^{-x}}{2}[/mm]
> cosh x := [mm]\bruch{ e^{x} + e^{-x}}{2}[/mm]
>
> tanh x := sinh x := [mm]\bruch{sinh x}{cosh x}[/mm]
Hier ist etwas schiefgegangen, oder? Es ist doch sicher nicht [mm] $\sinh [/mm] x = [mm] \frac{\sinh x}{\cosh x}$?
[/mm]
Was genau soll da stehen?
> (i)
> Zeige, dass die funktionen
> sinh: [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm]
> [mm]cosh|_{0,+\infty}[/mm] : [mm][0,+\infty)[/mm] -> [mm][1,+\infty)[/mm]
> und
> tanh: [mm]\IR[/mm] -> (-1, 1) bijektiv sind
>
> (ii)
> Seien die umkehrfunktionen der funktionen aus (i) mit
> arcsinh, arccosh und arctanh bezeichnet. bestimmen sie die
> ableitungen dieser drei umkehrfunktionen.
> ___
>
> kann es bitte jemand zur einer dieser 3 funktionen
> durchführen?
Nein, das darfst du selber machen.
Allerdings hab ich einen Tipp fuer dich (erstmal zu (i)): ist $f$ eine differenzierbare Funktion mit $f'(x) > 0$ fuer alle $x$ und mit [mm] $\lim_{x\to-\infty} [/mm] f(x) = a$ and [mm] $\lim_{x\to\infty} [/mm] f(x) = b$, dann ist $f : [mm] \IR \to [/mm] (a, b)$ bijektiv und streng monoton steigend.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:42 So 12.05.2013 | | Autor: | Aguero |
> > tanh x := [mm]\bruch{sinh x}{cosh x}[/mm]
so soll es lauten :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:55 So 12.05.2013 | | Autor: | Aguero |
kannst du es bitte wenigstens zu (i) machen?
habe leider nicht mehr so viel zeit zum überlegen ..
kam auf den weg bis jetzt nicht..
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:25 So 12.05.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> kannst du es bitte wenigstens zu (i) machen?
Nein. Das musst du wirklich selber machen. Ansonsten bringt das gar nichts.
> habe leider nicht mehr so viel zeit zum überlegen ..
> kam auf den weg bis jetzt nicht..
Ich hab dir doch gesagt wie du vorgehen sollst. Fange mit $f(x) = [mm] \sinh [/mm] x$ an, leite es ab und zeige, dass dies immer $> 0$ ist. Dann schau die Grenzwerte fuer $x [mm] \to -\infty$ [/mm] und $x [mm] \to \infty$ [/mm] an.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:15 So 12.05.2013 | | Autor: | Aguero |
okay, dann beziehen wir uns jetzt auf das sinh x
F(x) = [mm] (e^{x}+e^{-x}) [/mm] / 2
F(0)= 1 inf & min
F(-1)=F(1) >0
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} (e^{x}+e^{-x}) [/mm] / 2 = [mm] \infty
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow -\infty} (e^{x}+e^{-x}) [/mm] / 2 = [mm] \infty
[/mm]
=> Bijektiv?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:26 So 12.05.2013 | | Autor: | helicopter |
Guten Abend,
> okay, dann beziehen wir uns jetzt auf das sinh x
>
> F(x) = [mm](e^{x}+e^{-x})[/mm] / 2
??? Meinst du [mm] \frac{d}{dx}sinh(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2} [/mm] ?
>
> F(0)= 1 inf & min
Naja f'(0)=1 heißt nicht das es keine Nullstellen gibt, da kann man besser argumentieren.
> F(-1)=F(1) >0
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} (e^{x}+e^{-x})[/mm] / 2 = [mm]\infty[/mm]
> [mm]\limes_{x\rightarrow -\infty} (e^{x}+e^{-x})[/mm] / 2 =
> [mm]\infty[/mm]
Ich glaube es war der Grenzwert der Funktion gemeint, nicht der der Ableitung.
>
>
> => Bijektiv?
Gruß helicopter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:30 So 12.05.2013 | | Autor: | Aguero |
ah ist auch sinnvoller, also die grenzwerte der ableitung ja?
und wann ist es genau bijektiv? wenn plus&minus unendlich den selben bzw verschiedenen limes haben oder welche kriterien sind es bei denen ich auf anhieb erkenne ob es bijektiv ist
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:39 So 12.05.2013 | | Autor: | helicopter |
Hallo,
> ah ist auch sinnvoller, also die grenzwerte der ableitung
> ja?
Nein die Grenzwerte von f(x)
> und wann ist es genau bijektiv? wenn plus&minus unendlich
> den selben bzw verschiedenen limes haben oder welche
> kriterien sind es bei denen ich auf anhieb erkenne ob es
> bijektiv ist
Du weißt das [mm] f'(x)\ne{}0 [/mm] für alle [mm] x\in\IR, [/mm] daraus kannst du folgern das die Funktion streng monoton steigend/fallend ist. Daraus folgt die Injektivität.
Hat die Funktion jetzt den Grenzwert [mm] -\infty [/mm] für [mm] x\to{}-\infty [/mm] und [mm] \infty [/mm] für [mm] x\to{}\infty [/mm] kannst du folgern das die Funktion surjektiv ist.
Insgesamt ist Sie also bijektiv.
Gruß helicopter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:11 Mo 13.05.2013 | | Autor: | Aguero |
habe es verstanden super erklärt!
aber bei cosh bekomme ich für F(0)=0 und beide limes von f(x) gehen gg +unendlich
bei tanh ist zwar F(0)=1 , jedoch der negative limes gegen -1 und der positive limes gegen 1
wie sehen also da die antworten aus?
diese müssten ja auch bijektiv sein! aber warum sind diese surjektiv und injektiv? nach deiner erklärung wären diese nicht bijektiv...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:32 Mo 13.05.2013 | | Autor: | helicopter |
Hallo,
> habe es verstanden super erklärt!
> aber bei cosh bekomme ich für F(0)=0 und beide limes von
> f(x) gehen gg +unendlich
Es gilt doch f(0)=1, ausserdem Ist ja dein Definitionsbereich eingeschränkt auf [mm] [0,\infty)
[/mm]
Die Ableitung wird nur 0 für x=0 also ist die Funktion streng monoton steigend auf dem Intervall [mm] [0,\infty) [/mm] und damit Injektiv.
Da der Grenzwert für [mm] x\to{}\infty [/mm] = [mm] \infty [/mm] Ist auch die Surjektivität da.
> bei tanh ist zwar F(0)=1 , jedoch der negative limes gegen
> -1 und der positive limes gegen 1
Ja, beim tanh ist auch der Wertebereich auf (1,1) eingeschränkt.
> wie sehen also da die antworten aus?
> diese müssten ja auch bijektiv sein! aber warum sind diese
> surjektiv und injektiv? nach deiner erklärung wären diese
> nicht bijektiv...
Gruß helicopter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:07 Mo 13.05.2013 | | Autor: | felixf |
Moin,
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} (e^{x}+e^{-x})[/mm] / 2 = [mm]\infty[/mm]
> > [mm]\limes_{x\rightarrow -\infty} (e^{x}+e^{-x})[/mm] / 2 =
> > [mm]\infty[/mm]
>
> Ich glaube es war der Grenzwert der Funktion gemeint, nicht
> der der Ableitung.
ja, der war gemeint. Sorry, das hatte ich offenbar vergessen zu tippen. Habe es jetzt korrigiert.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:50 Mo 13.05.2013 | | Autor: | Aguero |
Ich danke euch!
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