Bijektivität einer Funktion < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:27 Mo 19.09.2011 | | Autor: | tanye |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Funktion sin : [−Pi/2, Pi/2] → [−1, 1]bijektiv ist und folglich eine differenzierbare Umkehrfunktion besitzt. |
Hi Zusammen :) ,
Ich hab mir den Kosinus in diesem Intervall aufgezeichnet , dann habe ich gesehen , dass er nur oberhalb der X-Achse verläuft in dem Bereich von -Pi/2 bis Pi/2. Aber jetzt muss ich doch theoretisch den Bereich unterhalb der X-Achse und eine Seite der Y-Achse ausschließen sonst wäre die Funktion doch nicht bijektiv.Denn wenn ich an der Y-Achse eine Waagerechte lege hätte ich unterhalb der X-Achse keinen dazugehörigen Funktionswert und oberhalb der X-Achse hätte mehr als einen Funktionswert...Kann jmd helfen ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
viele Grüße und Dankeschön - Tanye
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:37 Mo 19.09.2011 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass die Funktion sin : [−Pi/2, Pi/2] →
> [−1, 1]bijektiv ist und folglich eine differenzierbare
> Umkehrfunktion besitzt.
Aber Achtung: diese Umkehrfunktion ist in den Punkten -1 und 1 nicht differenzierbar !!!
> Hi Zusammen :) ,
>
> Ich hab mir den Kosinus in diesem Intervall aufgezeichnet ,
> dann habe ich gesehen , dass er nur oberhalb der X-Achse
> verläuft in dem Bereich von -Pi/2 bis Pi/2. Aber jetzt
> muss ich doch theoretisch den Bereich unterhalb der X-Achse
> und eine Seite der Y-Achse ausschließen sonst wäre die
> Funktion doch nicht bijektiv.Denn wenn ich an der Y-Achse
> eine Waagerechte lege hätte ich unterhalb der X-Achse
> keinen dazugehörigen Funktionswert und oberhalb der
> X-Achse hätte mehr als einen Funktionswert...Kann jmd
> helfen ?
Ich verstehe nicht so recht, von was Du sprichst !
Sei f(x):=sin(x). Zeigen sollst Du:
$f: [mm] [-\pi/2, \pi/2] \to [/mm] [-1,1]$ ist bijektiv.
Wegen $f'(x)= cos(x) [mm] \ge [/mm] 0$ für $x [mm] \in [-\pi/2, +\pi/2] [/mm] $ und $f'(x)= cos(x) > 0$ für $x [mm] \in (-\pi/2, \pi/2) [/mm] $ ist f auf [mm] [-\pi/2, \pi/2] [/mm] streng wachsend und damit injektiv.
Wegen [mm] f(-\pi/2)=-1 [/mm] und [mm] f(\pi/2)=1 [/mm] und wegen des Zwischenwertsatzes folgt dann noch:
$f: [mm] [\pi/2, -\pi/2] \to [/mm] [-1,1]$ ist surjektiv.
FRED
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> viele Grüße und Dankeschön - Tanye
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