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Bijektivität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:46 Di 01.05.2007
Autor: MasterMG

Hi, an alle.....

möchte beweisen, dass [mm] g:\IR_{\ge1} \to ]0,\bruch{1}{2}] [/mm] mit

[mm] g(x)=\bruch{x}{1+x^2} [/mm]  bijektiv ist. Nun, dass g injektiv ist, habe ich bereits

eingesehen und bewiesen, aber wie beweise ich nun am besten die

Surjektivität von g?

Normalerweise kann man [mm] g(x)=y=\bruch{x}{1+x^2} [/mm] nach x umstellen,

dann ist das nicht mehr das Problem, aber hier komm ich einfach nicht

weiter. Am liebsten hätte ich ja das x auf der einen seite und die y's auf der

anderen. Vielleicht kann mir jemand freundlicherweise helfen!? Vielen Dank.

MFG

        
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Bijektivität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:02 Di 01.05.2007
Autor: MicMuc

Wie wäre es mit streng monoton fallend und stetig. Dann folgt die Bijektivtät ( also insbesondere die Surjektivität) aus dem Zwischenwertsatz und aus:

1)  g(1)=1/2
2)  g strebt gegen 0 für x gegen unendlich

Bezug
                
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Bijektivität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:13 Di 01.05.2007
Autor: MasterMG

Ok, die Injektivität hab ich auch mit der Eigenschaft "streng monoton

fallend" bewiesen. Für den Tipp mit dem Zwischenwertsatz und der

Stetigkeit schon mal auch danke schön.

Nun möchte ich aber auch die Umkehrfunktion [mm] g^{-1} [/mm] zu g bestimmen, und

da stehe ich doch wieder vor dem gleichen Problem, oder sehe ich das nicht

richtig?




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Bijektivität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:43 Mi 02.05.2007
Autor: Leopold_Gast

Die Auflösung nach [mm]x[/mm] führt, nachdem man die Gleichung mit dem Nenner durchmultipliziert hat, auf eine quadratische Gleichung in [mm]x[/mm]. Für deren Lösung gibt es aber eine bekannte Formel. Nur auf das richtige Vorzeichen der Wurzel muß man noch achten.

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Bijektivität: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 19:06 Mi 02.05.2007
Autor: MasterMG

Hey....

Habe inzwischen festgestellt, dass die gegebene Funktion g wegen dem

Definitionsbereich sowieso nur genau einen einzigen Punkt des Graphen

beschreibt. Ist so eine Funktion dann nicht immer bijektiv?

MFG

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Bijektivität: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:22 So 06.05.2007
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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