Bijektivität < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:43 Di 14.11.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
Mal eine Frage, angeommen ich habe die Menge, die der Graph einer Funktion ist mit
$G:=[ [mm] (x,y)\in\IR \backslash [/mm] [0] [mm] \times\IR: [/mm] y = [mm] \br{1}{x}]$
[/mm]
Ich soll die Funktion nun so umformen, dass sie bijektiv wird. Oder ist sie das schon? Denn immerhin ist es ja so, dass der Grenzwert für x gegen unendlich die Funktion gegen 0 läuft. Und für bijektivität muss ja jeder Y-Wert einem X-Wert zugeordnet sein (und es dürfen keine Y-Werte doppelt auftauchen).
Also ich würde sagen, dass die Funktion bijektiv ist (weil x gegen plus und minus unendlich der Y-Wert gegen 0 läuft - alle Y-Werte also einmal vertreten)
Was sagt ihr dazu?
Dankeschön
Grüße
Johann
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:26 Di 14.11.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo Johann!
Eine Frage vorweg: wozu hast du den Graphen genannt? Was hat der mit dem Problem zu tun?
> Also ich würde sagen, dass die Funktion bijektiv ist (weil x gegen plus und minus unendlich der Y-Wert gegen 0 läuft - alle Y-Werte also einmal vertreten)
Deine Überlegung, dass die Funktion für [mm] $x\to\pm\infty$ [/mm] gegen $0$ läuft, ist richtig. Dennoch wird die $0$ nicht selbst als Funktionswert angenommen - sie ist zwar Randpunkt des Bildes, d.h. die Funktionswerte kommen ihr beliebig nahe, doch für die Bijektivität der Funktion müsste die $0$ selbst im Bild liegen, und das ist nicht der Fall. Daher ist die Abbildung nicht bijektiv.
Würdest du die $0$ aus der Bildmenge entfernen, so wäre die so entstandene Abbildung bijektiv.
Klar?
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 Di 14.11.2006 | | Autor: | Phoney |
Moin Hanno!
Danke dir, für deine Antwort.
> Eine Frage vorweg: wozu hast du den Graphen genannt? Was
> hat der mit dem Problem zu tun?
Für mich wäre es sonst nicht ersichtlich, dass es eigentlich um [mm] \br{1}{x} [/mm] geht?
> > Also ich würde sagen, dass die Funktion bijektiv ist (weil
> x gegen plus und minus unendlich der Y-Wert gegen 0 läuft -
> alle Y-Werte also einmal vertreten)
>
> Deine Überlegung, dass die Funktion für [mm]x\to\pm\infty[/mm] gegen
> [mm]0[/mm] läuft, ist richtig. Dennoch wird die [mm]0[/mm] nicht selbst als
> Funktionswert angenommen - sie ist zwar Randpunkt des
> Bildes, d.h. die Funktionswerte kommen ihr beliebig nahe,
> doch für die Bijektivität der Funktion müsste die [mm]0[/mm] selbst
> im Bild liegen, und das ist nicht der Fall. Daher ist die
> Abbildung nicht bijektiv.
>
> Würdest du die [mm]0[/mm] aus der Bildmenge entfernen, so wäre die
> so entstandene Abbildung bijektiv.
>
> Klar?
Noch nicht ganz.
Ich muss also nur die Null herausnehmen, also quasi so:
$ G:=[ [mm] (x,y)\in\IR \times\IR: [/mm] y = [mm] \br{1}{x}] [/mm] $
und schon ist sie bijektiv?
Was war sie dnen vorher? "Nur" injektiv, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:19 Di 14.11.2006 | | Autor: | Sashman |
Moin Phoney!
> Noch nicht ganz.
> Ich muss also nur die Null herausnehmen, also quasi so:
> [mm]G:=[ (x,y)\in\IR \times\IR: y = \br{1}{x}][/mm]
>
> und schon ist sie bijektiv?
>
nich ganz. Du mußt die Null aus der Bildmenge rausnehmen und nicht (0,0) dazunehmen. So:
[mm] $G:=\{(x,y)\in\IR\backslash\{0\}\times\IR\backslash\{0\}: y=\frac{1}{x}\}$
[/mm]
> Was war sie dnen vorher? "Nur" injektiv, oder?
folgte aus [mm] $f(x_1)=f(x_2)$ $x_1=x_2$ [/mm] ?? dann war sie injektiv
MfG
Sashman
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:11 Mi 15.11.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
>
> > Noch nicht ganz.
> > Ich muss also nur die Null herausnehmen, also quasi so:
> > [mm]G:=[ (x,y)\in\IR \times\IR: y = \br{1}{x}][/mm]
> >
> > und schon ist sie bijektiv?
> >
> nich ganz. Du mußt die Null aus der Bildmenge rausnehmen
> und nicht (0,0) dazunehmen. So:
>
> [mm]G:=\{(x,y)\in\IR\backslash\{0\}\times\IR\backslash\{0\}: y=\frac{1}{x}\}[/mm]
>
> > Was war sie dnen vorher? "Nur" injektiv, oder?
>
> folgte aus [mm]f(x_1)=f(x_2)[/mm] [mm]x_1=x_2[/mm] ?? dann war sie injektiv
Ach so wird das gemacht.
Okay, Vielen Dank euch beiden!
Gruß
Johann
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