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| Aufgabe | | Sei [mm] \Omega [/mm] eine Menge und G eine Permutationsgruppe auf [mm] \Omega. [/mm] zeigen Sie, falls G scharf transitiv ist und [mm] w_0 \in \Omega [/mm] fix gewählt, so ist [mm] \alpha [/mm] : G --> [mm] \Omega [/mm] mit g [mm] \mapsto g(w_0) [/mm] eine Bijektion. |
Ich hoffe, dass mir einer dabei helfen kann, da ich nicht wirklich eine ahnung habe, wie ich das beweisen soll!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:32 Sa 20.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei [mm]\Omega[/mm] eine Menge und G eine Permutationsgruppe auf
> [mm]\Omega.[/mm] zeigen Sie, falls G scharf transitiv ist und [mm]w_0 \in \Omega[/mm]
> fix gewählt, so ist [mm]\alpha[/mm] : G --> [mm]\Omega[/mm] mit g [mm]\mapsto g(w_0)[/mm]
> eine Bijektion.
Es gibt ja zwei Moeglichkeiten zu zeigen, dass etwas bijektiv ist. Einmal kann man zeigen, dass es injektiv und surjektiv ist. Und dann kann man zeigen, dass es eine Umkehrfunktion gibt. Das zweite ist hier wohl am sinnvollsten.
Was heisst es denn, wenn du eine Permutationsgruppe auf [mm] $\Omega$ [/mm] hast? Und dass $G$ scharf transitiv ist?
Und wie sieht das in einer Permutationsgruppe mit invertierbaren Elementen aus?
Schreib das doch hier auf wenn du selber nicht weiterkommst.
LG Felix
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Hallo Felix!
Sorry, aber war Sonntag nicht da, deswegen kann ich erst jetzt antworten!
Scharf transitiv heißt [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in \Omega \exists [/mm] g [mm] \in [/mm] G : g(a)=b.
In einer Gruppe gilt für das inverse Element: [mm] g^{-1}°g=e.
[/mm]
Aber ich weiß nicht, was genau ich damit anfangen soll, zumal wir Bijektion immer über injektiv und surjektiv erklärt haben. Kannst du mir dabei vielleicht helfen?
Vielen Dank schonmal!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 Mo 22.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sorry, aber war Sonntag nicht da, deswegen kann ich erst
> jetzt antworten!
> Scharf transitiv heißt [mm]\forall[/mm] a,b [mm]\in \Omega \exists[/mm] g
> [mm]\in[/mm] G : g(a)=b.
Bist du dir sicher, dass es nicht genau ein solches Element geben soll?
> In einer Gruppe gilt für das inverse Element: [mm]g^{-1}°g=e.[/mm]
> Aber ich weiß nicht, was genau ich damit anfangen soll,
> zumal wir Bijektion immer über injektiv und surjektiv
> erklärt haben. Kannst du mir dabei vielleicht helfen?
> Vielen Dank schonmal!
So, jetzt schauen wir uns mal deine Funktion [mm] $\alpha [/mm] : G [mm] \to \Omega$, [/mm] $g [mm] \mapsto g(\omega_0)$ [/mm] an (wobei [mm] $\omega_0 \in \Omega$ [/mm] fix ist).
Du musst zeigen, dass [mm] $\alpha$ [/mm] injektiv ist. Seien also $g, h [mm] \in [/mm] G$ mit [mm] $\alpha(g) [/mm] = [mm] \alpha(h)$, [/mm] also mit [mm] $g(\omega_0) [/mm] = [mm] h(\omega_0)$. [/mm] Jetzt schau dir die Definition von scharf transitiv an (und zwar die richtige  ).
Nun zur Surjektivitaet. Sei [mm] $\omega \in \Omega$ [/mm] beliebig. Du suchst ein $g [mm] \in [/mm] G$ mit [mm] $\alpha(g) [/mm] = [mm] \omega$, [/mm] also mit [mm] $g(\omega_0) [/mm] = [mm] \omega$. [/mm] Und, was sagt dir die scharfe Transitivitaet jetzt?
LG Felix
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Hallo Felix:
Injektivität:
[mm] h(w_0) [/mm] = [mm] g(w_0) [/mm] =: w
Aus der scharfen Transitivität folgt h = g gelten, denn es gibt ja nur genau ein h aus G mit h(x) = w, aber kann man das schon so als Beweis hinschreiben?
Surjektivität:
Für jedes x und jedes z aus P gibt es genau ein h aus G,mit h(x) = w.
Deswegen, muss es ein h geben, für das gilt [mm] \alpha(h) [/mm] = h(x) = w.
Bin mir nicht sicher, ob das so richtig ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:41 Di 23.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Injektivität:
> [mm]h(w_0)[/mm] = [mm]g(w_0)[/mm] =: w
> Aus der scharfen Transitivität folgt h = g gelten, denn es
> gibt ja nur genau ein h aus G mit h(x) = w, aber kann man
> das schon so als Beweis hinschreiben?
Ja. Wenn du $x$ durch [mm] $\omega_0$ [/mm] ersetzt.
> Surjektivität:
> Für jedes x und jedes z aus P gibt es genau ein h aus
> G,mit h(x) = w.
> Deswegen, muss es ein h geben, für das gilt [mm]\alpha(h)[/mm] =
> h(x) = w.
Das $z$ soll $w$ sein? Und das $x$ in der letzten Zeile soll ein [mm] $\omega_0$ [/mm] sein? Dann ist das so richtig.
LG Felix
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