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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:49 Mo 24.09.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Jede quadratische Matrix A [mm] \in M_{n \times n} (\IK) [/mm] liefert eine Bilinearform auf [mm] \IK^n:
[/mm]
[mm] \beta_A [/mm] : [mm] \IK^n \times \IK^n [/mm] -> [mm] \IK, \beta_A [/mm] (x,y) = [mm] x^t [/mm] A y |
Ich sollzeigen: Jede Billinearform [mm] \beta: \IK^n \times \IK^n [/mm] -> [mm] \IK [/mm] lässt sich durch eine Matrix A beschreiben.
Tipp von lehrer: x,y in standartbasis entwickeln
Nun [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in \IK^n
[/mm]
[mm] \beta(x,y)= \beta [/mm] ( [mm] \sum_{i=1}^n x_i e_i [/mm] , [mm] \sum_{j=1}^n y_j e_j [/mm] ) = [mm] \sum_{i,j=1}^n x_i y_i \beta(e_i [/mm] , [mm] e_j) [/mm]
Nun, weiß ich nicht weiter.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:09 Mo 24.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> Jede quadratische Matrix A [mm]\in M_{n \times n} (\IK)[/mm] liefert
> eine Bilinearform auf [mm]\IK^n:[/mm]
> [mm]\beta_A[/mm] : [mm]\IK^n \times \IK^n[/mm] -> [mm]\IK, \beta_A[/mm] (x,y) = [mm]x^t[/mm] A
> y
> Ich sollzeigen: Jede Billinearform [mm]\beta: \IK^n \times \IK^n[/mm]
> -> [mm]\IK[/mm] lässt sich durch eine Matrix A beschreiben.
> Tipp von lehrer: x,y in standartbasis entwickeln
>
>
> Nun [mm]\forall[/mm] x,y [mm]\in \IK^n[/mm]
> [mm]\beta(x,y)= \beta[/mm] ( [mm]\sum_{i=1}^n x_i e_i[/mm]
> , [mm]\sum_{j=1}^n y_j e_j[/mm] ) = [mm]\sum_{i,j=1}^n x_i y_i \beta(e_i[/mm]
> , [mm]e_j)[/mm]
Hier
[mm]\sum_{i,j=1}^n x_i y_i \beta(e_i[/mm] , [mm]e_j)[/mm]
stimmt was nicht ! In [mm] x_i y_i [/mm] kommt der Index j nicht vor !
> Nun, weiß ich nicht weiter.
Nichts ist naheliegender als die Matrix [mm] (\beta(e_i [/mm] , [mm]e_j)[/mm] ) zu betrachten !
FRED
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 Mo 24.09.2012 | | Autor: | quasimo |
Hallo, danke für die Antwort
$ [mm] (\beta(e_i [/mm] $ , $ [mm] e_j) [/mm] $ )
[mm] \beta [/mm] ist aber irgendeine Billinearform und unter eine Billinearform verstehen wir eine ABbildung die linear in jeder Eintragung ist.
Wird das dann zur Einheitsmatrix?
Ich habe Billinearform erst heute begonnen richtig zu lernen, also Nachsicht ;)
LG,
quasimo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:44 Mo 24.09.2012 | | Autor: | fred97 |
Die [mm] \beta(e_i,e_j) [/mm] sind doch Elemente in [mm] \IK.
[/mm]
Setze mal [mm] A:=(\beta(e_i,e_j)) [/mm] und [mm] \beta_A(x,y):=x^tAy.
[/mm]
Überprüfe ob, [mm] \beta_A= \beta.
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:27 Fr 28.09.2012 | | Autor: | quasimo |
Ich versteh das nicht ganz, was du mir damit sagen willst
[mm] \beta_A [/mm] (x,y) = [mm] x^t [/mm] A y = [mm] x^t (\beta(e_i,e_j))y =\beta_{\beta(e_i,e_j)}
[/mm]
Schau mir ist klar dass [mm] \beta_A (e_i, e_j) [/mm] = [mm] A_{ij}
[/mm]
aber mir ist nicht klar, warum das für jede Billinearform gilt!
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Hallo,
Du hast eine Bilinearform [mm] \beta [/mm] gegeben, und Du sollst zeigen, daß Du sie durch eine passende Matrix beschreiben kannst, daß Du also eine Matrix A derart findest, daß [mm] \beta(x,y)=x^tAy.
[/mm]
Du hast herausgefunden, daß [mm] \beta(x,y)=$ \sum_{i,j=1}^n x_i y_j \beta(e_i [/mm] $ , $ [mm] e_j) [/mm] $.
Freds Rat war, doch mal die durch [mm] A:=(\beta(e_i,e_j) [/mm] ) definierte Matrix zu betrachten, also die Matrix, die an der Position ij den Eintrag [mm] \beta(e_i,e_j) [/mm] hat.
Die Matrix ist also "gefüllt mit den Produkten der Basisvektoren".
Dann rechne x^tAy nach und stelle mit Freude fest, daß dies gleich [mm] \beta(x,y) [/mm] ist.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:23 Sa 29.09.2012 | | Autor: | quasimo |
Hallo,
Vielen Dank , dass du mir das nochmals erklärt hast.
Jetzt hab auch ich es verstanden ;=)
LG, schönen Samstag
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