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hat einer von euch ne idee, wie man folgendes lösen kann:
Es gilt für alle x [mm] \in \IR [/mm] und alle n,m [mm] \in \IZ [/mm] :
[mm] x^nx^m [/mm] = [mm] x^n+m
[/mm]
und
(x^ n ) ^ m = x^nm
wär euch echt dankbar über hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:57 Mo 29.11.2004 | | Autor: | zwerg |
Tach Eva!
[mm] x^{n}=\underbrace{x*x*x...x*x}_{n-Faktoren}
[/mm]
[mm] \to
[/mm]
[mm] x^{n}x^{m}=(\underbrace{x*x...x*x}_{n-Faktoren})*(\underbrace{x*x...x*x}_{m-Faktoren})=\underbrace{x*x...x*x}_{(n+m)-Faktoren}=x^{n+m},n,m\in\IZ
[/mm]
wenn das reichen sollte funktioniert b analog
oder
Funktionalgleichung der e-Funktion:
[mm] e^{a}e^{b}=e^{a+b}
[/mm]
nun gilt:
[mm] x^{n}=e^{n*ln(x)} [/mm] und [mm] x^{m}=e^{m*ln(x)}
[/mm]
[mm] \to
[/mm]
[mm] x^{n}x^{m}=e^{n*ln(x)}e^{m*ln(x)}=e^{n*ln(x)+m*ln(x)}=e^{(n+m)*ln(x)}=x^{(n+m)}
[/mm]
bei b) mußt du dann ausnutzen:
[mm] m*ln(x^{n})=(m*n)ln(x)
[/mm]
MfG zwerg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:03 Do 02.12.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Chinakohl,
> hat einer von euch ne idee, wie man folgendes lösen kann:
> Es gilt für alle x [mm]\in \IR[/mm] und alle n,m [mm]\in \IZ[/mm] :
> [mm]x^nx^m[/mm] = [mm]x^n+m
[/mm]
> und
> (x^ n ) ^ m = x^nm
die große Frage hier ist, was du denn als bekannt voraussetzen darfst, zum Beispiel, wie ihr Potenzen bisher definiert habt.
Ich nehme mal an, ihr dürft das benutzen:
[mm] $x^0:=1$
[/mm]
[mm] $n\in\IN$: $x^n:=\underbrace{x*\ldots*x}_{\mbox{n \scriptsize Mal}}$
[/mm]
[mm] $n\in\IN$: $x^{-n}:=\bruch{1}{x^n}$
[/mm]
Jetzt zu deiner Gleichungen, zum Beispiel zu [mm] $x^n*x^m [/mm] = [mm] x^{n+m}$.
[/mm]
Hier müßtest du nun folgende neun Fälle unterscheiden, von denen aber nur drei interessant sind
Fall 1: n=0, m=0: klar
Fall 2: n=0, m>0: klar
Fall 3: n=0, m<0: klar
Fall 4: n>0, m=0: klar
Fall 5: n>0, m>0: siehe zwergs Antwort
Fall 6: n>0, m<0: das mußt du noch zeigen, du darfst dabei aber auf Fall 5 zurückgreifen
Fall 7: n<0, m=0: klar
Fall 8: n<0, m>0: siehe Fall 6, vertausche einfach n und m
Fall 9: n<0, m<0: das mußt du auch noch zeigen
Probier' es mal.
Viele Grüße,
Marc
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