Beweisverfahren < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:51 Fr 07.11.2008 | | Autor: | chriz123 |
| Aufgabe | | Ist n eine natürliche Zahl [mm]\le 2[/mm], dann gilt [mm]\underbrace{\IN\times\cdots\times\IN}_{n-mal}\approx\IN[/mm]. |
Die Lösung ist zwar trivial aber ich weiß nicht wie genau ich den Beweis führen muss.
[mm]\produkt_{i=1}^{n}A_i=A_1\times\cdots\times A_n:=\{a_1,\cdots,a_n|a_i\in A_i, i=1,\cdots,n\}[/mm]
[mm](a_1,\cdots,a_n)\approx\IN[/mm]
Was feht noch damit es ein Beweis wird??
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Ist n eine natürliche Zahl [mm]\le 2[/mm], dann gilt
> [mm]\underbrace{\IN\times\cdots\times\IN}_{n-mal}\approx\IN[/mm].
> Die Lösung ist zwar trivial
Hallo,
oh.
Jetzt fühle ich mich etwas minderbemittelt, denn ich kapiere die Aufgabe überhaupt nicht.
Was ist denn mit [mm] \approx [/mm] gemeint?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:01 Fr 07.11.2008 | | Autor: | XPatrickX |
> Ist n eine natürliche Zahl [mm]\le 2[/mm], >
Dann kann n ja nur 1 oder 2 sein. Für 1 gilt Gleichheit.
Ist evtl. [mm] \red{\ge } [/mm] gemeint?
Gruß Patrick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:12 Fr 07.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ist n eine natürliche Zahl [mm]\le 2[/mm], dann gilt
> [mm]\underbrace{\IN\times\cdots\times\IN}_{n-mal}\approx\IN[/mm].
> Die Lösung ist zwar trivial aber ich weiß nicht wie genau
> ich den Beweis führen muss.
>
> [mm]\produkt_{i=1}^{n}A_i=A_1\times\cdots\times A_n:=\{\blue{(}a_1,\cdots,a_n\blue{)}|a_i\in A_i, i=1,\cdots,n\}[/mm]
ACHTUNG: Bitte die Klammern um das Tupel nicht vergessen. Das ist ein wesentlicher Unterschied! [mm] $\{(1,1,1)\}$ [/mm] ist nicht die gleiche Menge wie [mm] $\{1,1,1\}=\{1\}\,.$
[/mm]
> [mm](a_1,\cdots,a_n)\approx\IN[/mm]
>
> Was feht noch damit es ein Beweis wird??
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
also [mm] $\produkt_{k=1}^n \IN$ [/mm] ist gleichmächtig zu [mm] $\IN$ [/mm] ist die Behauptung, wenn ich das richtig verstehe.
Das ist aber eigentlich nicht sonderlich schwer, wenn man mit der folgenden Gleichheit schön zu argumentieren weiß:
[mm] $$\produkt_{k=1}^n \IN=\bigcup_{m_1 \in \IN}\bigcup_{m_2 \in \IN}...\bigcup_{m_{n-1} \in \IN}\bigcup_{m_{n} \in \IN}\{(m_1,m_2,...,m_{n-1},m_n)\}\,.$$
[/mm]
(Tipp: Abzählbare Vereinigungen abzählbarer Mengen sind abzählbar.)
Alternativ kannst Du natürlich auch einen Induktionsbeweis (auf ähnliche Art und Weise) führen.
Gruß,
Marcel
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