Beweismethoden?! < Induktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:11 Mi 07.11.2012 | | Autor: | Shane23 |
| Aufgabe | Beweisen Sie:
1³ + 2³ + 3³ + ... + (n - 1)³ + n³ = [mm] \bruch{n²(n+1)²}{4} [/mm] |
Hallo,
Ich hatte das bisher noch nie und soll jetzt mehrere Aufgaben lösen.
Habe mir einige Seiten im Web angeschaut aber verstehe es einfach nicht.
In einen anderem Forum wurde mir gesagt ich solle Induktion angucken.
Anscheinend macht man erstmal:
Induktionsanfang ( n = 1)
1³ = 1
(1²(1+1)²) / 4 = 1
Dann irgentwie
Induktionsbehauptung:
A(n+1) (???)
Weiter weiss ich nicht.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=505004
Könnt ihr mir vielleicht erklären wie man da vorgeht oder es an der Aufgabe zeigen.
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Hallo Shane23 und erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Beweisen Sie:
> 1³ + 2³ + 3³ + ... + (n - 1)³ + n³ = [mm]\bruch{n²(n+1)²}{4}[/mm]
Edit: Zu Beginn wurden die Quadrate rechterhand im Zähler nicht angezeigt, nun stehen sie aber richtigerweise (wieder) da ...
> Hallo,
> Ich hatte das bisher noch nie und soll jetzt mehrere
> Aufgaben lösen.
> Habe mir einige Seiten im Web angeschaut aber verstehe es
> einfach nicht.
> In einen anderem Forum wurde mir gesagt ich solle
> Induktion angucken.
Ja, Induktion ist das Mittel der Wahl hier ...
>
> Anscheinend macht man erstmal:
>
> Induktionsanfang ( n = 1)
> 1³ = 1
> (1²(1+1)²) / 4 = 1
Exponenten kannst du am besten mit dem Dach ^ links neben der 1 eingeben, also etwa [mm]1^3[/mm] so: 1^3
Wenn im Exponenten mehr als 1 Zeichen steht, dann packe es in geschweifte Klammern
> Dann irgentwie
> Induktionsbehauptung:
> A(n+1) (???)
>
> Weiter weiss ich nicht.
Du solltest dir dringend das Beweisprinzip der vollst. Induktion ansehen; ohne Kenntnis desselben bist du hier aufgeschmissen.
Du nimmst dir ein bel. [mm]n\in\IN[/mm] her und nimmst an, dass die Beh. für dieses n gelte, dass also [mm]1^3+2^3+...+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}[/mm] - das ist die Induktionsvoraussetzung.
Dann musst du zeigen, dass unter dieser Vor. die Beh. auch für n+1 gilt, dass also [mm]A(n+1)[/mm] gilt.
Zu zeigen ist also, dass [mm]1^3+2^3+...+n^3+(n+1)^3=\frac{(n+1)^2(n+1)^2}{4}[/mm] gilt.
Nimm dir die linke Seite her und forme sie mithilfe der Induktionsvor. so um, dass am Ende die rechte Seite dasteht:
[mm]1^3+2^3+...+n^3+(n+1)^3=\left[1^3+2^3+..+n^3\right]+(n+1)^3=...[/mm]
Nun kannst du für den eckig geklammerten Term die Induktionsvor. bemühen ...
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=505004
>
> Könnt ihr mir vielleicht erklären wie man da vorgeht oder
> es an der Aufgabe zeigen.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Do 08.11.2012 | | Autor: | Shane23 |
1³ + 2³ + 3³ + ... + (n - 1)³ + n³ = $ [mm] \bruch{n²(n+1)²}{4} [/mm] $
Aber wenn ich da dann z.B für n=2 einsetze:
1³ + 2³ + 3³ + ... + (n - 1)³ + (n+1)³ = $ [mm] \bruch{(n+1)²(n+1)²}{4} [/mm] $
27 = 4,5
Kommt da nicht mehr das korrekte Ergebnis raus?!
Und ich habe mir 20 Seiten bei Google zu dem Thema angeguck werde aber nicht schlau draus.
Das erste mal das ich ne absolute Wand vor mir habe und nicht weitermachen kann.
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Hallo nochmal,
> 1³ + 2³ + 3³ + ... + (n - 1)³ + n³ =
> [mm]\bruch{n²(n+1)²}{4}[/mm]
>
> Aber wenn ich da dann z.B für n=2 einsetze:
>
> 1³ + 2³ + 3³ + ... + (n - 1)³ + (n+1)³ =
> [mm]\bruch{(n+1)²(n+1)²}{4}[/mm]
Schon wieder diese Kackexponenten.
Mache die mit dem Dach und geschweiften Klammern, so werden sie nicht angezeigt!
Linkerhand kannst du [mm]1^3+2^3+...+n^3[/mm] auch schreiben als [mm]\sum\limits_{k=1}^nk^3[/mm]
Für [mm]n=2[/mm] hast du damit linkerhand: [mm]\sum\limits_{k=1}^2k^3 \ = \ 1^3+2^3=1+8=9[/mm] und rechterhand [mm]\frac{2^2(2+1)^2}{4}=\frac{4\cdot{}9}{4}=9[/mm]
Passt wunderbar
>
> 27 = 4,5
> Kommt da nicht mehr das korrekte Ergebnis raus?!
Doch!
> Und ich habe mir 20 Seiten bei Google zu dem Thema
> angeguck werde aber nicht schlau draus.
> Das erste mal das ich ne absolute Wand vor mir habe und
> nicht weitermachen kann.
Was genau ist dir an meiner Erklärung in der ersten Antwort unklar.
So Wischiwaschi-Aussagen à la "ich kapiere nix" sind nicht hilfreich.
Was verstehst du konkret nicht, woran hapert es genau?
Das musst du präzisieren, dann kann man dir (sinnvoll) helfen.
Die Lösung komplett hingelegt bekommst du sicher nicht ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 Do 08.11.2012 | | Autor: | Shane23 |
> Nimm dir die linke Seite her und forme sie mithilfe der Induktionsvor. so > um, dass am Ende die rechte Seite dasteht:
> $ [mm] 1^3+2^3+...+n^3+(n+1)^3=\left[1^3+2^3+..+n^3\right]+(n+1)^3=... [/mm] $
> Nun kannst du für den eckig geklammerten Term die Induktionsvor. > bemühen ...
Das habe ich nicht verstanden.
Weiss nicht was ich in den geklammerten Teil ändern soll und wieso.
Wie soll ich die rechte Seite da reinpacken?
Also laut der Seite:
http://kilchb.de/vollstind_lsg.html
Mache ich die Aufgabe so:
Induktionsanfang A(n = 1)
Linke Seite:
[mm] (1-1)^3 [/mm] + [mm] 1^3 [/mm] = 1
Rechte Seite:
[mm] \bruch{1^2(1+1)^2}{4} [/mm] = 1
Induktionsschritt A(n + 1)
(n - [mm] 1)^3 [/mm] + [mm] n^3 [/mm] + (n+1) = [mm] \bruch{n^2(n + 1)^2}{4} [/mm] +(n+1)
Aber dann stimmt das Ergebnis ja nicht.
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Hallo,
[mm] 1^3+2^3+...+n^3+(n+1)^3
[/mm]
[mm] =\left[1^3+2^3+..+n^3\right]+(n+1)^3
[/mm]
für den Ausdruck in der eckigen Klammer kannst du doch einsetzen
[mm] =\bruch{n^2*(n+1)^2}{4}+(n+1)^3
[/mm]
jetzt den Term [mm] (n+1)^2 [/mm] ausklammern
[mm] =(n+1)^2*[\bruch{n^2}{4}+(n+1)]
[/mm]
in der eckigen Klammer alles auf den Hauptnenner 4
[mm] =(n+1)^2*[\bruch{n^2}{4}+\bruch{4*(n+1)}{4}]
[/mm]
[mm] =(n+1)^2*[\bruch{n^2}{4}+\bruch{4*n+4}{4}]
[/mm]
[mm] =(n+1)^2*[\bruch{n^2+4n+4}{4}]
[/mm]
jetzt betrachte aufmerksam den Zähler [mm] n^2+4n+4, [/mm] den kannst du wunderbar umformen, überlege dir, was du dazu brauchst, dann bist du am Ziel
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 Do 08.11.2012 | | Autor: | Shane23 |
Also sollte ich das so umformen:
[mm] n^2 [/mm] + 4n + 4 = [mm] (n+2)^2
[/mm]
Dann sehe es ja so aus:
$ [mm] =(n+1)^2\cdot{}\bruch{(n+2)^2}{4} [/mm] $
Irgentwie find ich diese Beweismethoden sehr merkwürdig.
Kann man den Term vom Anfang
$ [mm] =\bruch{n^2\cdot{}(n+1)^2}{4}+(n+1)^3 [/mm] $
auch so umformen?
[mm] \bruch{n^4+2n^3+n^2}{4} [/mm] + [mm] (n+1)^3
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:46 Do 08.11.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Shane!
> Also sollte ich das so umformen:
>
> [mm]n^2[/mm] + 4n + 4 = [mm](n+2)^2[/mm]
>
> Dann sehe es ja so aus:
> [mm]=(n+1)^2\cdot{}\bruch{(n+2)^2}{4}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau da wollten wir auch hin.
> Irgentwie find ich diese Beweismethoden sehr merkwürdig.
Was stört Dich daran?
> Kann man den Term vom Anfang
> [mm]=\bruch{n^2\cdot{}(n+1)^2}{4}+(n+1)^3[/mm]
>
> auch so umformen?
> [mm]\bruch{n^4+2n^3+n^2}{4}[/mm] + [mm](n+1)^3[/mm]
KAnn man machen, führt aber eher in die Irre zumindest nicht direkt zum Ziel, da man in der ausmultiplizierten Form nicht mehr so schön ausklammern und zusammenfassen kann.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 Do 08.11.2012 | | Autor: | Shane23 |
Hab nochmal 2 Fragen.
Die Augabe war ja
[mm] 1^3 [/mm] + [mm] 2^3 [/mm] + [mm] 3^3 [/mm] + ... + (n - [mm] 1)^3 [/mm] + [mm] n^3 [/mm] = $ [mm] \bruch{n^2(n+1)^2}{4} [/mm] $
Da steht doch (n - [mm] 1)^3.
[/mm]
Wieso hat schachuzipus aus (n - [mm] 1)^3 [/mm] (n + [mm] 1)^3 [/mm] gemacht?
$ [mm] 1^3+2^3+...+n^3+(n+1)^3=\left[1^3+2^3+..+n^3\right]+(n+1)^3=... [/mm] $
2)
Ist
$ [mm] =(n+1)^2\cdot{}\bruch{(n+2)^2}{4} [/mm] $
denn jetzt die endgültige Lösung?
Denn wenn ich da jetzt 2 einsetze kommt 36 raus.
[mm] \bruch{n^2(n+1)^2}{4} [/mm]
Wenn ich in die rechte Gleichung 2 einsetze kommt aber 9 raus?
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Hallo,
du machst den Induktionsanfang, also für n=1, mit 1=1 hast du die wahre Aussage gezeigt
jetzt stellst du die Induktionsbehauptung auf, es gilt auch für n+1, dabei ist n+1 der Nachfolger von n
schachuzipus hat also nicht n-1 durch n+1 ersetzt, nein n-1 ist der Vorgänger von n,
ein Beispiel:
......... 7 8 9 ..........
......... (n-1) n (n+1) .......
7 ist der Vorgänger von 8
9 ist der Nachfolger von 8
(n-1) ist der Vorgänger von n
(n+1) ist der Nachfolger von n
[mm] (n+1)^2*\bruch{(n+2)^2}{4} [/mm] hiermit hast du gezeigt, dass deine Behauptung auch für den Nachfolger Gültigkeit hat,
machst du jetzt n=2, so bekommst du 9
[mm] 1^3+2^3=9
[/mm]
du setzt also in [mm] (n+1)^2*\bruch{(n+2)^2}{4} [/mm] für n=2 ein, dann bekommst du deine 36
[mm] 1^3+2^3+3^3=\bruch{3^2(3+1)^2}{4}=36
[/mm]
Steffi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:50 Do 08.11.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Beweisen Sie:
> 1³ + 2³ + 3³ + ... + (n - 1)³ + n³ =
> [mm]\bruch{n²(n+1)²}{4}[/mm]
> Hallo,
> Ich hatte das bisher noch nie und soll jetzt mehrere
> Aufgaben lösen.
> Habe mir einige Seiten im Web angeschaut aber verstehe es
> einfach nicht.
> In einen anderem Forum wurde mir gesagt ich solle
> Induktion angucken.
Das hilft in der Tat. Hast du bei deiner Suche im Netz auch die folgenden Links gefunden?
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/Allgemein/summenformel1.htm
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/Allgemein/summenformel3.htm
Nach der Lektüre der beiden Links sollte das ganze klar sein.
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:02 Fr 09.11.2012 | | Autor: | Shane23 |
| Aufgabe | Beweisen Sie:
2 + 4 + 6 + ... (2n - 2) + 2n = n(n + 1) |
Ich bin da so wie bei der letzten Aufgabe rangegangen.
2 + 4 + 6 + ... + 2n + (2n - 2)
= [2 + 4 + 6 + ... +2n] + (2n - 2)
= n(n + 1) + (2n - 2)
= [mm] n^2 [/mm] + n + 2n - 2
= [mm] n^2 [/mm] + 3n - 2
Wenn man hier aber 2 einsetzt kommt 8 raus und nicht 6 wie bei
n(n + 1) = 6
Ich geh jetzt erstmal schlafen, vielleicht hab ich beim aufwachen ja ne Art Erleuchtung ô.o
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:33 Fr 09.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du alle geraden Zahlen bis 2n aufsummierst, dann ist die nachste zahl doch 2n+2 nicht 2n-2
hier fängst du mit n=1 wieder an
2=1*(1+1) stimmt
dann sagst du: die Formel stimmt für irgend ein n, daraus willst du folgern, dass sich dann auch für die nächst Zahl, also n+1 gilt.
also bekannt ist 2+4+....2n=n*(n+1) das heisst Induktionsvorraaussetzung
zeigen willst du: 2+4+....2n+2=(n+1)*(n+1+1)
also wenn links das 1 größere n dazukommt also 2*(n+1), dann muss auch rechts in die Formel n+1 eingesetzt richtig sein.
also setzt du bekanntes - die Indvors.- ein
2+4+...2n +2n+2=n*(n+1)+(2n+2)
wenn du jetzt rechts n+1 ausklammerst hast du die Behauptung da stehen.
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:24 Fr 09.11.2012 | | Autor: | Shane23 |
Aber das wäre ja dann:
=n*(n+1)+(2n+2)
(2n - 2) + 2n = [mm] n^2 [/mm] + 3n +2
Wenn man 2 einsetzt kommt links 6 raus und rechts 12,
das stimmt doch dann nicht mehr?
Oder muss links dann auch:
(2n - 2) + 2n + (2n + 2) = [mm] n^2 [/mm] + 3n +2
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Hallo
2+4+6+...+(2n-2)+2n+(2n+2)=(n+1)*(n+2)
für 2+4+6+...+(2n-2)+2n kannst du n*(n+1) einsetzen
n*(n+1)+(2n+2)=(n+1)*(n+2)
durch Ausmultiplizieren kannst du die Gleichheit nachweisen
wenn du in n*(n+1)+2n+2 dein n=2 einsetzt
2*(2+1)+2*2+2
=2*3+4+2
=6+6
=12
du hast bei n*(n+1)+2n+2 die Klammern falsch aufgelöst
[mm] =n^2+n+2n+2
[/mm]
[mm] =n^2+3n+2
[/mm]
Steffi
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