Beweisführung Summe (k^3+k) < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:39 Do 02.06.2011 | | Autor: | elmanuel |
| Aufgabe | | Beweisen Sie [mm] \sum_{k=1}^{n}(k^3+k) [/mm] = [mm] \dfrac{n(n+1)(n^2+n+2)}{4} [/mm] |
Ist meine Beweisführung korrekt??
i.A.
1+1=8/4
2=2 [mm] \Rightarrow [/mm] w.A.
i.S.
[mm] \sum_{k=1}^{n+1}(k^3+k) [/mm] = [mm] \dfrac{n(n+1)(n^2+n+2)}{4} [/mm] + [mm] (n+1)^3+(n+1)
[/mm]
= [mm] \dfrac{(n^2+n)(n^2+n+2)+4((n+1)(n^2+2n+1)+n+1)}{4}
[/mm]
= [mm] \dfrac{n^4+6n^3+15n^2+18n+8}{4}
[/mm]
= [mm] \dfrac{(n^2+3n+2)(n^2+3n+4)}{4}
[/mm]
= [mm] \dfrac{(n+1)((n+1)+1)((n+1)^2+(n+1)+2)}{4}
[/mm]
qed!
ich bin anfänger und über tipps bei der beweisführung dankbar!
Danke
Manuel
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo elmanuel,
> Beweisen Sie [mm]\sum_{k=1}^{n}(k^3+k)[/mm] =
> [mm]\dfrac{n(n+1)(n^2+n+2)}{4}[/mm]
> Ist meine Beweisführung korrekt??
>
> i.A.
Hier mußt Du hinschreiben, für welches n Du das prüfst, (n=1).
> 1+1=8/4
> 2=2 [mm]\Rightarrow[/mm] w.A.
>
> i.S.
Hier genauso: [mm]n \to n+1:[/mm]
> [mm]\sum_{k=1}^{n+1}(k^3+k)[/mm] = [mm]\dfrac{n(n+1)(n^2+n+2)}{4}[/mm] +
> [mm](n+1)^3+(n+1)[/mm]
Hier fehlt ein Zwischenschritt:
[mm]\sum_{k=1}^{n+1}(k^3+k) = \blue{\sum_{k=1}^{n}(k^3+k)+\left(n+1\right)^{3}+\left(n+1\right)}=\dfrac{n(n+1)(n^2+n+2)}{4} +
(n+1)^3+(n+1)[/mm]
> = [mm]\dfrac{(n^2+n)(n^2+n+2)+4((n+1)(n^2+2n+1)+n+1)}{4}[/mm]
> = [mm]\dfrac{n^4+6n^3+15n^2+18n+8}{4}[/mm]
> = [mm]\dfrac{(n^2+3n+2)(n^2+3n+4)}{4}[/mm]
> = [mm]\dfrac{(n+1)((n+1)+1)((n+1)^2+(n+1)+2)}{4}[/mm]
> qed!
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> ich bin anfänger und über tipps bei der beweisführung
> dankbar!
>
> Danke
>
> Manuel
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:07 Do 02.06.2011 | | Autor: | elmanuel |
danke für die tipps!
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