Beweisen von Surj. Injekt. < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:27 Mi 12.11.2008 | | Autor: | JaJaJan |
| Aufgabe | Untersuchen Sie folgende Funktionen auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität:
a) f: [mm] \IR^{3} \mapsto \IR^{2}, [/mm] (x,y,z) [mm] \mapsto [/mm] (x-z,y-z)
b) f: [mm] \IR^{2} \mapsto \IR^{3}, [/mm] (x,y) [mm] \mapsto [/mm] (x,y,x+y) |
Hallo zusammen!
Zu der gegebenen Aufgabe habe ich mal eine Frage.
Zu a) denke ich, das diese Funktion Surjektiv ist und die Funktion von b) ist injektiv.
Nun wollte ich gerne mal wissen wie ich soetwas zeigen bzw. beweisen kann.
Würde mich über eine Antwort freuen.
Danke im voraus.
Gruß
Jan
Diese Frage habe ich in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:45 Mi 12.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Untersuchen Sie folgende Funktionen auf Injektivität,
> Surjektivität und Bijektivität:
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> a) f: [mm]\IR^{3} \mapsto \IR^{2},[/mm] (x,y,z) [mm]\mapsto[/mm] (x-z,y-z)
>
> b) f: [mm]\IR^{2} \mapsto \IR^{3},[/mm] (x,y) [mm]\mapsto[/mm] (x,y,x+y)
> Hallo zusammen!
>
> Zu der gegebenen Aufgabe habe ich mal eine Frage.
>
>
>
> Zu a) denke ich, das diese Funktion Surjektiv ist
naja, um zu prüfen, ob diese Funktion surjektiv ist:
Du musst herausfinden, ob es zu jedem Paar [mm] $(y_1,y_2) \in \IR^2$ [/mm] ein Tripel [mm] $(x_1,x_2,x_3) \in \IR^3$ [/mm] gibt mit [mm] $f(x_1,x_2,x_3)=(y_1,y_2)\,.$
[/mm]
Seien also [mm] $y_1,y_2 \in \IR$ [/mm] beliebig, aber fest und [mm] $x_1,x_2,x_3 \in \IR\,.$ [/mm] Du hast nun zu prüfen, ob das Gleichungssystem
[mm] $$x_1-x_3=y_1$$
[/mm]
[mm] $$x_2-x_3=y_2$$
[/mm]
lösbar (in den Variablen [mm] $x_1,x_2,x_3$) [/mm] ist. Das ist der Fall. Ich kann sogar noch ein wenig konkreter werden:
Mit [mm] $x_3:=0$ [/mm] folgt [mm] $x_1=y_1$ [/mm] und [mm] $x_2=y_2\,.$
[/mm]
Mit anderen Worten:
$f(x,y,0)=(x,y)$ zeigt schon die Surjektivität von [mm] $f\,.$
[/mm]
Injektiv wird diese Funktion nicht sein. Das kannst Du Dir entweder separat überlegen. (Aus [mm] $f(x_1,x_2,x_3)=f(\tilde{x}_1,\tilde{x}_2,\tilde{x}_3)$ [/mm] müsste ja stets auch [mm] $(x_1,x_2,x_3)=(\tilde{x}_1,\tilde{x}_2,\tilde{x}_3)\,,$ [/mm] also [mm] $x_1=\tilde{x}_1$ [/mm] und [mm] $x_2=\tilde{x}_2$ [/mm] und [mm] $x_3=\tilde{x}_3\,,$ [/mm] folgen.)
Oder Du überlegst so:
[mm] $f(1,1,1)=(0,0)\,,$ [/mm] aber (siehe Rechnung der Surjektivität) es ist auch [mm] $f(0,0,0)=(0,0)\,.$
[/mm]
> und die
> Funktion von b) ist injektiv.
Ist die Funktion aus b) denn auch surjektiv (Tipp: Findest Du $(x,y) [mm] \in \IR^2$ [/mm] mit $f(x,y)=(1,1,4)$?)
Zur Injektivität:
Du kannst ja z.B. so anfangen:
Folgt aus [mm] $f(x_1,x_2)=f(\tilde{x}_1,\tilde{x}_2)$ [/mm] auch [mm] $(x_1,x_2)=(\tilde{x_1},\tilde{x}_2)$ [/mm] (also [mm] $x_1=\tilde{x}_1$ [/mm] und [mm] $x_2=\tilde{x}_2$)?
[/mm]
Dann solltest Du sofort sehen: Ja! 
Gruß,
Marcel
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