Beweisen einer Äquivalenzrel. < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:31 So 07.11.2010 | | Autor: | nhard |
| Aufgabe | Sei [mm] M:=\IZ [/mm] und sei [mm] p\in\IN [/mm] fest gewählt. Ferner sie die Relation [mm] R\subset\IZ\\X\IZ\ [/mm] definiert durch [mm] n\sim_R m:\gdw\\p|n-m\ [/mm] .
Zeigen Sie, dass R eine Äquivalenzrelation auf [mm] \IZ\ [/mm] ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. (Und hoffe ich habe die Aufgabenstellung richtig darstellen können)
Hallo,
also der allg. Ansatz müsste doch sein:
1.Reflexivität,
2.Symmetrie,
3.Transitivität
zu beweisen, und zwar für:
[mm] R\sim \IZ\
[/mm]
Wobei
[mm]R:=\{(m,n)\in \IZ\\X\IZ\\\ |\ \exists k\in\IZ :k*p=m-n \} [/mm]
Aber schon für die Reflexivität scheitere ich.
Also es soll für alle [mm] a\in\IZ\\X\IZ\ [/mm] gelten: [mm] a\sim a\
[/mm]
Aber ich weiß nicht mal, was genau dieses a sein soll...
Muss dieses "a" die Bedingung von "R" erfüllen?
Habe ich hier nicht irgendwie eine "Relation auf eine Relation und eine Menge"?
Ist es soweit wenigstens einigermaßen richtig?
Bräuchte dringend einen Denkanstoß..
Ich hoffe ich habe die Formeln alle gut dargestellt.
Danke schon mal für eure Mühe !!
(Habe auch schon gesucht hier im Forum zu ähnlichen Fragen aber keine gefunden. Falls ich mich zu blöd angestellt habe bitte Link posten!)
--
Okay habe jetzt folgende Idee für die Reflexivität:
Es muss gelten, dass: [mm] m\sim m\
[/mm]
Also: [mm] \exists k\in\IZ:k*p=m-m\
[/mm]
Wenn k=0 dann ist die Bedingung ja erfüllt,
Also [mm] m\sim m\
[/mm]
Stimmt das so?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 So 07.11.2010 | | Autor: | nhard |
Oh, natürlich meinte ich [mm] p\in\IN [/mm] , ist alles noch etwas unübersichtlich hier für mich :P.
Hatte auch nicht gesehen, dass du auf meine Frage schon geantwortet hattest und dann meine "Idee" in die Aufgabenstellung geschrieben. Ich schreib sie einfach nochmal hier rein:
Also: [mm] \exists k\in\IZ:k*p=m-m\
[/mm]
Wenn k=0 und dann ist die Bedingung ja erfüllt, da [mm] 0\in\IZ
[/mm]
Also [mm] m\sim m\
[/mm]
Stimmt das so?
Dann habe ich auch noch direkt die Idee für die Symmetrie:
Da [mm] n\sim m\Rightarrow m\sim n\\ [/mm] gelten muss:
[mm] \exists k\in\IZ:p*k=m-n\ \wedge\ \exists k\in\IZ:p*k=n-m\ [/mm]
Beim zweiten wäre es ja einfach (-k) also ist [mm] (n,m)\in R\
[/mm]
Für die Transitivität hätte ich jetzt aus einer Diskussion hier im Forum ( https://vorhilfe.de/read?t=625479 ) analog übernommen:
Es muss gelten:
[mm] n\sim m\wedge\ m\sim l\rightarrow n\sim l\
[/mm]
[mm] \exists k\in\IZ\wedge\exists i\in\IZ \rightarrow \(k*p=n-m \wedge\(i*p=m-l\ [/mm] .
Dann wäre [mm] \(n-l=k*p+i*p=p*(k+i)\
[/mm]
also [mm] (n,l)\in\(R
[/mm]
Damit wären ja alle 3 Bedingungen erfüllt und man hätte gezeigt das [mm] \(R [/mm] eine Äquivalenzrelation zu [mm] \IZ [/mm] ist oder?
Danke für deine Hilfe :)
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Huhu,
> Also: [mm]\exists k\in\IZ:k*p=m-m\[/mm]
> Wenn k=0 und dann ist
> die Bedingung ja erfüllt, da [mm]0\in\IZ[/mm]
> Also [mm]m\sim m\[/mm]
>
> Stimmt das so?
Jap 
> Dann habe ich auch noch direkt die Idee für die
> Symmetrie:
>
> Da [mm]n\sim m\Rightarrow m\sim n\\[/mm] gelten muss:
>
> [mm]\exists k\in\IZ:p*k=m-n\ \wedge\ \exists k\in\IZ:p*k=n-m\[/mm]
>
> Beim zweiten wäre es ja einfach (-k) also ist [mm](n,m)\in R\[/mm]
Ja, wobei die Notation nicht ganz sauber ist, es muss ja gelten:
[mm]\exists k\in\IZ:p*k=m-n\ \Rightarrow \exists k\in\IZ:p*k=n-m\[/mm]
Und damit es nicht zu Verwechslungen kommt, wäre es noch gut das zweite k anders zu benennen, also in der Form:
[mm]\exists k\in\IZ:p*k=m-n\ \Rightarrow \exists k'\in\IZ:p*k'=n-m\[/mm]
Dann einfach sagen: $k' = (-k)$ erfüllt die Bedingung.
Aber das ist nur Schönheitskram
> Es muss gelten:
> [mm]n\sim m\wedge\ m\sim l\rightarrow n\sim l\[/mm]
> [mm]\exists k\in\IZ\wedge\exists i\in\IZ \rightarrow \(k*p=n-m \wedge\(i*p=m-l\[/mm]
> .
> Dann wäre [mm]\(n-l=k*p+i*p=p*(k+i)\[/mm]
>
> also [mm](n,l)\in\(R[/mm]
korrekt, da $(k+i) [mm] \in \IZ$ [/mm] sollte man noch erwähnen und das erste Gleichheitszeichen solltest du vllt. noch mit einem Zwischenschritt begründen (auch um zu sehen, ob DU Das verstanden hast)
>
> Damit wären ja alle 3 Bedingungen erfüllt und man hätte
> gezeigt das [mm]\(R[/mm] eine Äquivalenzrelation zu [mm]\IZ[/mm] ist oder?
Genau.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 So 07.11.2010 | | Autor: | nhard |
Hey,
das ist echt so super hier in dem Forum.
Also kann deine Punkte absolut nachvollziehen erscheint mir auch alles sehr logisch :P
Ich nehme an mit "dem ersten Gleichheitszeichen" meinst du:
[mm]\(n-l=k*p+i*p=p*(k+i)\[/mm]
Mein Zwischenschritt wäre:
[mm]\((n-l)=(n-m)+(m-l)\[/mm]
da wir [mm]\((n-m)[/mm] und [mm] (m-l)\[/mm] ja schon definiert haben komme ich dann auf den letzten Schritt.
Aber jetzt fällt mir auf, das ich eigentlich garnicht erklären kann, woher das "+"-Zeichen kommt.
Es müsste ja aus der Bedingung [mm](n\sim m)\wedge \((m\sim l) \rightarrow n\sim l [/mm] entstehen.. (?)
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Hiho,
> Ich nehme an mit "dem ersten Gleichheitszeichen" meinst
> du:
>
> [mm]\(n-l=k*p+i*p=p*(k+i)\[/mm]
> Mein Zwischenschritt wäre:
> [mm]\((n-l)=(n-m)+(m-l)\[/mm]
>
> da wir [mm]\((n-m)[/mm] und [mm](m-l)\[/mm] ja schon definiert haben komme
> ich dann auf den letzten Schritt.
Genau, alles prima.
> Aber jetzt fällt mir auf, das ich eigentlich garnicht
> erklären kann, woher das "+"-Zeichen kommt.
> Es müsste ja aus der Bedingung [mm](n\sim m)\wedge \((m\sim l) \rightarrow n\sim l[/mm]
> entstehen.. (?)
Nein, das kommt durch deine "nahrhafte Null" zustande. Ich schreibs mal noch detaillierter auf:
$n - l = n - 0 - l = n - (m-m) - l = (n-m) + (m-l) = [mm] \ldots$
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:35 So 07.11.2010 | | Autor: | nhard |
Perfekt!!
Vielen, vielen Dank!!
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