Beweisen Sie folgende Aussagen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:44 So 18.11.2007 | | Autor: | devil_rv |
| Aufgabe | Aufgabe 1: Beweisen sie die folgenden Aussagen:
a) [mm] \wurzel[n]{x_{1}^n+...+x_{k}^n} \to [/mm] max [mm] ({x_{1}...,x_{k}}) [/mm] wenn n [mm] \to \infty [/mm] , wobei [mm] x_{1}...x_{k} \ge [/mm] 0 und k [mm] \in \IN
[/mm]
b) [mm] nq^n \to [/mm] 0 , wenn n [mm] \to \infty [/mm] , falls |q| < 1.
Hinweis: Man kann verwenden, dass [mm] \wurzel[n]{n} \to [/mm] 1 und [mm] \wurzel[n]{\varepsilon} \to [/mm] 1 für jedes [mm] \varepsilon [/mm] > 0
c) [mm] n^kq^n \to [/mm] 0, wenn n [mm] \to \infty [/mm] , falls |q| < 1 und k [mm] \in \IN.
[/mm]
Hinweis: Man kann b) verwenden.
d) [mm] \bruch{1}{2^n} \vektor{n \\ k} \to [/mm] 0, wenn n [mm] \to \infty, [/mm] wobei k [mm] \in \IN
[/mm]
Hinweis man kann c) verwenden
Weiterhin bestimmen Sie, falls existent, die Grenzwerte für n [mm] \to \infty [/mm] folgender Folgen [mm] (a_n):
[/mm]
e) [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{5n^2+n!+1}{3n!+10n^3+n+7}
[/mm]
f) [mm] a_n [/mm] = [mm] \wurzel{n+5} [/mm] - [mm] \wurzel{n} [/mm] |
Hallo, ich hab wieder Probleme ansetze zu finden.
Im vorraus danke für jeden Tipp.
bei a) weiss ich nicht wie ich anfangen soll.
Ansatz:
[mm] {x_{1}^n+...+x_{k}^n} \to \infty [/mm] , wenn n [mm] \to \infty [/mm]
[mm] \wurzel[n]{\infty } \to [/mm] 1 wenn n [mm] \to \infty [/mm] ist das der richtige ansatz?
bei b)-d) weiss ich nicht wie ich z.b. [mm] nq^n [/mm] so umwandeln kann das ich den Hinweis benutzen kann
bei e) und f) insbesondere bei e) weiss ich nicht wie ich das beweisen soll.
Im vorraus nochmals Vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
LG Susi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:54 So 18.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Susi!
> Aufgabe 1: Beweisen sie die folgenden Aussagen:
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> a) [mm]\wurzel[n]{x_{1}^n+...+x_{k}^n} \to max({x_{1}...,x_{k}})[/mm] wenn n [mm]\to \infty[/mm] , wobei [mm]x_{1}...x_{k} \ge 0 [/mm] und [mm]k \in \IN[/mm]
>
> b) [mm]nq^n \to[/mm] 0 , wenn n [mm]\to \infty[/mm] , falls |q| < 1.
> Hinweis: Man kann verwenden, dass [mm]\wurzel[n]{n} \to[/mm] 1 und [mm]\wurzel[n]{\varepsilon} \to[/mm] 1 für jedes [mm]\varepsilon[/mm] > 0
>
> c) [mm]n^kq^n \to[/mm] 0, wenn n [mm]\to \infty[/mm] , falls [mm]|q| < 1[/mm] und [mm] k \in \IN.[/mm]
> Hinweis: Man kann b) verwenden.
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> d) [mm]\bruch{1}{2^n} \vektor{n \\ k} \to[/mm] 0, wenn n [mm]\to \infty,[/mm] wobei k [mm]\in \IN[/mm]
> Hinweis man kann c) verwenden
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> Weiterhin bestimmen Sie, falls existent, die Grenzwerte für
> n [mm]\to \infty[/mm] folgender Folgen [mm](a_n):[/mm]
>
> e) [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{5n^2+n!+1}{3n!+10n^3+n+7}[/mm]
> f) [mm]a_n[/mm] = [mm]\wurzel{n+5}[/mm] - [mm]\wurzel{n}[/mm]
> Hallo, ich hab wieder Probleme ansetze zu finden.
>
> Im vorraus danke für jeden Tipp.
>
> bei a) weiss ich nicht wie ich anfangen soll.
>
> Ansatz:
> [mm]{x_{1}^n+...+x_{k}^n} \to \infty[/mm] , wenn n [mm]\to \infty[/mm]
> [mm]\wurzel[n]{\infty } \to[/mm] 1 wenn n [mm]\to \infty[/mm] ist das der richtige ansatz?
Tipp: nimm der Einfachheit halber an, dass [mm]x_1[/mm] am größten ist, also [mm]x_1 = \max(x_1,\dots,x_n)[/mm].
Dann klammerst du [mm]x_1^n[/mm] unter der Wurzel aus.
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> bei b)-d) weiss ich nicht wie ich z.b. [mm]nq^n[/mm] so umwandeln
> kann das ich den Hinweis benutzen kann
Schau dir mal den Tipp bei b) an, da ist von [mm]\wurzel[n]{n}[/mm] die Rede; [mm]n=\left(\wurzel[n]{n}\right)^n[/mm].
Bei der d) solltest du erst einmal die Definition des Binomialkoeffzienten hinschreiben.
> bei e) und f) insbesondere bei e) weiss ich nicht wie ich
> das beweisen soll.
Ein Hinweis: die Fakultät wächst schneller als jede Potenz, überleg dir mal warum!
Viele Grüße
Rainer
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