Beweisen? < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:47 Mo 06.07.2009 | | Autor: | equity |
| Aufgabe | Es sei f eine stetige Funktion mit stetiger Ableitung f´. Zeigen Sie
[mm] \int f(x)f'(x)\,dx=\frac{1}{2}*(f(x))^2+c [/mm] |
Von dieser Art von Aufgaben habe ich vier Stück zu machen.
Aber ich verstehe überhaupt gar nicht, was ich hier machen soll.
Kann mir da jemand helfen?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:54 Mo 06.07.2009 | | Autor: | Unk |
> Es sei f eine stetige Funktion mit stetiger Ableitung f´.
> Zeigen Sie
>
> [mm]\int f(x)f'(x)\,dx=\frac{1}{2}*(f(x))^2+c[/mm]
> Von dieser Art
> von Aufgaben habe ich vier Stück zu machen.
> Aber ich verstehe überhaupt gar nicht, was ich hier machen
> soll.
> Kann mir da jemand helfen?
>
> LG
Hallo,
du musst hier nur eine Stammfunktion bestimmen, bzw. eben zeigen, dass das Integral die hinter dem Gleichheitszeichen angegebene Stammfunktion besitzt.
Die Voraussetzungen der Stetigkeit brauchst du, damit du integrieren kannst.
Gruß Unk
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:57 Mo 06.07.2009 | | Autor: | Disap |
Hallo!
> Es sei f eine stetige Funktion mit stetiger Ableitung f´.
> Zeigen Sie
>
> [mm]\int f(x)f'(x)\,dx=\frac{1}{2}*(f(x))^2+c[/mm]
> Von dieser Art
> von Aufgaben habe ich vier Stück zu machen.
> Aber ich verstehe überhaupt gar nicht, was ich hier machen
> soll.
> Kann mir da jemand helfen?
Partiell integrieren liefert die Behauptung
[mm] \int [/mm] f(x)f'(x) dx = f(x)*f(x) - [mm] \int [/mm] f'(x)*f(x) dx + C
hier wurde nur partiell integriert, und wenn wir das jetzt umschreiben, gilt doch die Gleichung
[mm] \int [/mm] f(x)f'(x) dx = f(x)*f(x) - [mm] \int [/mm] f(x)*f'(x) dx + C
(hinten wurde lediglich f'(x) mit f(x) vertauscht, aber das ist ja egal)
Und jetzt addierst du [mm] \int [/mm] f(x)*f'(x) dx auf beide Seiten und erhälst
[mm] 2\int [/mm] f(x)f'(x) dx = f(x)*f(x) + C
und jetzt noch durch zwei teilen, liefert dein obiges Ergebnis mit c = C/2, und f(x)*f(x) ist selbstverständlich [mm] [f(x)]^2
[/mm]
Viele Grüße
Disap
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:58 Mo 06.07.2009 | | Autor: | karma |
Hallo und guten Tag.
"Die Methode der Substitution ist die Umkehrung der Kettenregel"
Nachfolgend die Anwendung der Kettenregel.
Sei:
[mm] $g(x)=\frac{1}{2}\cdot{}(f(x))^2+c$.
[/mm]
Dann ist:
[mm] $d/dx\;g(x) [/mm] = [mm] 2\cdot{}1/2\cdot{}f(x)\cdot{}f'(x)=f(x)\cdot{}f'(x)$
[/mm]
Schönen Gruß
Karsten
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